Determine a razão de cada uma das seguintes progressões geométricas e classifique-as em Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede duas coisas:
- Determinar a razão da progressão geométrica.
- Classificá-la em uma das opções: Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.
Informações relevantes fornecidas: os três primeiros termos são
,
e
.
Passo 2
O que é uma progressão geométrica e como achar a razão.
Definição: uma sequência
é uma progressão geométrica (PG) quando existe um número
tal que cada termo, a partir do segundo, é o anterior multiplicado por
. Esse
chama-se razão da PG.
Fórmula do termo geral:
Aqui:
-
é o -ésimo termo da sequência; -
é o primeiro termo; -
é a razão; -
é o índice do termo (número natural).
Para encontrar
usando dois termos consecutivos usa-se a relação
onde
e
são termos consecutivos. Essa fórmula vem diretamente da definição
.
Passo 3
Calcular a razão usando os dois primeiros termos.
Usando
e
,
Agora simplifico a fração:
dividido por
é
. Logo
Passo 4
Verificação rápida com o terceiro termo (para confirmar consistência).
Se
e
, então
previsto é
que coincide com o
dado. Portanto a razão
está correta.
Passo 5
Como classificar a PG (regras e intuição).
Precisamos decidir entre Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante. Vou explicar cada conceito de forma prática:
- Constante: ocorre quando
. Todos os termos são iguais. - Crescente: em termos simples, cada termo é maior que o anterior. Para PG com termos positivos, isso acontece quando
. - Decrescente: cada termo é menor que o anterior. Para PG com termos positivos, isso ocorre quando
. - Oscilante: quando os sinais dos termos alternam (positivo, negativo, positivo, …), ou seja,
é negativo. Em particular: - Se
e , a sequência oscila de sinal e os módulos (valores absolutos) aumentam. - Se
e , a sequência oscila de sinal e os módulos diminuem. - Se
, oscila entre dois valores de módulos iguais.
- Se
Observação: quando se fala apenas “Crescente/Decrescente” em listas de PG é comum considerar tanto o sinal quanto a desigualdade entre termos; quando
é negativo a sequência muda de sinal e não é monotônica (não é estritamente crescente nem decrescente), então a classificação adequada é “Oscilante”.
Passo 6
Aplicando as regras ao caso concreto.
Encontramos
. Isso é um número negativo e
. Então:
- Os sinais dos termos alternam (positivo, negativo, positivo, …), portanto há oscilação de sinal.
- Como
, os valores absolutos dos termos crescem (por exemplo: , , , ), mas por causa da alternância de sinal a sequência não é monotonicamente crescente nem decrescente.
Logo a classificação correta é “Oscilante”.
Resposta
Razão:
Classificação: Oscilante
Classificação: Oscilante