Determine a razão de cada uma das seguintes progressões geométricas e classifique-as em Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.
(5,-15,45, \ldots)

Passo 1

O enunciado dá a sequência (5,-15,45,\ldots) e pede duas coisas:
  • Determinar a razão da progressão geométrica.
  • Classificá-la em uma das opções: Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.
Informações relevantes fornecidas: os três primeiros termos são a_1=5, a_2=-15 e a_3=45.

Passo 2

O que é uma progressão geométrica e como achar a razão.
Definição: uma sequência (a_n) é uma progressão geométrica (PG) quando existe um número r tal que cada termo, a partir do segundo, é o anterior multiplicado por r. Esse r chama-se razão da PG.
Fórmula do termo geral:
a_n = a_1 \, r^{\,n-1}
Aqui:
  • a_n é o n-ésimo termo da sequência;
  • a_1 é o primeiro termo;
  • r é a razão;
  • n é o índice do termo (número natural).
Para encontrar r usando dois termos consecutivos usa-se a relação
r = \frac{a_{k+1}}{a_k},
onde a_k e a_{k+1} são termos consecutivos. Essa fórmula vem diretamente da definição a_{k+1}=a_k\cdot r.

Passo 3

Calcular a razão usando os dois primeiros termos.
Usando a_1=5 e a_2=-15,
r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-15}{5}.
Agora simplifico a fração: -15 dividido por 5 é -3. Logo
r = -3.

Passo 4

Verificação rápida com o terceiro termo (para confirmar consistência).
Se r=-3 e a_2=-15, então a_3 previsto é
a_3 = a_2\cdot r = (-15)\cdot(-3)=45,
que coincide com o a_3 dado. Portanto a razão -3 está correta.

Passo 5

Como classificar a PG (regras e intuição).
Precisamos decidir entre Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante. Vou explicar cada conceito de forma prática:
  • Constante: ocorre quando r=1. Todos os termos são iguais.
  • Crescente: em termos simples, cada termo é maior que o anterior. Para PG com termos positivos, isso acontece quando r>1.
  • Decrescente: cada termo é menor que o anterior. Para PG com termos positivos, isso ocorre quando 0<r<1.
  • Oscilante: quando os sinais dos termos alternam (positivo, negativo, positivo, …), ou seja, r é negativo. Em particular:
    • Se r<0 e |r|>1, a sequência oscila de sinal e os módulos (valores absolutos) aumentam.
    • Se r<0 e |r|<1, a sequência oscila de sinal e os módulos diminuem.
    • Se r=-1, oscila entre dois valores de módulos iguais.
Observação: quando se fala apenas “Crescente/Decrescente” em listas de PG é comum considerar tanto o sinal quanto a desigualdade entre termos; quando r é negativo a sequência muda de sinal e não é monotônica (não é estritamente crescente nem decrescente), então a classificação adequada é “Oscilante”.

Passo 6

Aplicando as regras ao caso concreto.
Encontramos r=-3. Isso é um número negativo e |r|=3>1. Então:
  • Os sinais dos termos alternam (positivo, negativo, positivo, …), portanto há oscilação de sinal.
  • Como |r|>1, os valores absolutos dos termos crescem (por exemplo: |a_1|=5, |a_2|=15, |a_3|=45, |a_4|=135,\ldots), mas por causa da alternância de sinal a sequência não é monotonicamente crescente nem decrescente.
Logo a classificação correta é “Oscilante”.

Resposta

Razão: r=-3
Classificação: Oscilante

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