Determine a razão de cada uma das seguintes progressões geométricas e classifique-as em Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.
(\sqrt{5}, 5,5 \sqrt{5}, \ldots)

Passo 1

O enunciado dá a progressão geométrica cujos primeiros termos são \sqrt{5},\;5,\;5\sqrt{5},\ldots. O que ele pede:
  • Determinar a razão da progressão geométrica.
  • Classificá‑la como Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.
    Informações relevantes fornecidas:
  • Primeiro termo: a_1=\sqrt{5}.
  • Segundo termo: a_2=5.
  • Terceiro termo: a_3=5\sqrt{5}.

Passo 2

Definição e fórmula útil: uma sequência é progressão geométrica (PG) quando cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão r. Em símbolos:
a_{n+1}=a_n\cdot r\quad\text{para todo }n\ge1.
Para encontrar r basta dividir um termo pelo anterior, por exemplo:
r=\frac{a_2}{a_1}.

Passo 3

Calcular a razão usando os dois primeiros termos (vou mostrar a simplificação passo a passo):
r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{\sqrt{5}}.
Agora simplificar a fração. Note que 5=(\sqrt{5})^2, então
\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{5})^2}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}.
Portanto o valor numérico de r é \sqrt{5}.

Passo 4

Verificação rápida com o terceiro termo para garantir consistência: na PG temos a_3=a_1\cdot r^2. Substituindo os valores encontrados:
a_1\cdot r^2=\sqrt{5}\cdot(\sqrt{5})^2=\sqrt{5}\cdot 5=5\sqrt{5},
que coincide com o a_3 dado. Logo a razão calculada está correta.

Passo 5

Regras de classificação (explicadas de forma simples e com exemplos):
  • Se r=1, todos os termos são iguais e a PG é Constante.
  • Se r>1 e o primeiro termo a_1>0, cada termo é maior que o anterior → a PG é Crescente.
    Ex.: a_1=2,\;r=3 2,6,18,\ldots (aumenta).
  • Se 0<r<1 e a_1>0, cada termo é menor que o anterior → a PG é Decrescente.
    Ex.: a_1=8,\;r=\tfrac12 8,4,2,\ldots (diminui).
  • Se r<0 (qualquer valor absoluto), os sinais dos termos alternam de positivo para negativo → a PG é Oscilante.
    Ex.: a_1=1,\;r=-2 1,-2,4,-8,\ldots (oscila em sinal).

Passo 6

Aplicando as regras ao caso: encontramos \,r=\sqrt{5}\,. Observações:
  • \sqrt{5}>1 (aproximadamente 2,236).
  • O primeiro termo é a_1=\sqrt{5}>0.
    Com r>1 e a_1>0, cada termo é obtido multiplicando o anterior por um número maior que 1, portanto os termos aumentam estritamente.

Resposta

r=\sqrt{5}
Crescente

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