Determine a razão de cada uma das seguintes progressões geométricas e classifique-as em Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede duas coisas:
- Determinar a razão (razão comum) da progressão.
- Classificar a progressão como: Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.
Informações fornecidas: os três primeiros termos são
,
e
.
Passo 2
Definição prática: a razão comum
de uma progressão geométrica é o quociente entre um termo e o termo anterior. Em fórmula:
Vamos calcular usando os dois primeiros termos:
Agora simplifico essa fração:
.
Passo 3
Checagem com os termos seguintes (para garantir que a razão é realmente constante):
Como deu também
, a razão comum é realmente
.
Passo 4
Fórmula do termo geral (útil na prova): se
é o primeiro termo e
a razão, então o
-ésimo termo é
Aqui, substituindo
e
, obtemos
Isso também mostra que os termos vão ficando menores e tendem a zero quando
cresce.
Passo 5
Regras rápidas para classificar (úteis na hora da prova):
- Se
e , a PG é crescente (os termos aumentam). - Se
e , a PG é decrescente (os termos diminuem, permanecendo positivos). - Se
, é constante. - Se
, os sinais alternam e a PG é oscilante (alterna entre positivo e negativo).
Aplicando ao caso: aqui
satisfaz
e
. Logo, cada termo seguinte é
com
, portanto
para todo
. Conclusão: a sequência é decrescente (estritamente decrescente) e os termos são todos positivos.
Resposta
Razão:
Classificação: Decrescente
Classificação: Decrescente