Determine a razão de cada uma das seguintes progressões geométricas e classifique-as em Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.
\left(3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \ldots\right)

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(3,\\ \dfrac{3}{2},\\ \dfrac{3}{4},\\ \ldots\right) e pede duas coisas:
  • Determinar a razão (razão comum) da progressão.
  • Classificar a progressão como: Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.
Informações fornecidas: os três primeiros termos são a_1=3, a_2=\dfrac{3}{2} e a_3=\dfrac{3}{4}.

Passo 2

Definição prática: a razão comum r de uma progressão geométrica é o quociente entre um termo e o termo anterior. Em fórmula:
r=\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Vamos calcular usando os dois primeiros termos:
r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{\tfrac{3}{2}}{3}.
Agora simplifico essa fração: \dfrac{\tfrac{3}{2}}{3}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}.

Passo 3

Checagem com os termos seguintes (para garantir que a razão é realmente constante):
\frac{a_3}{a_2}=\frac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{3}{2}}=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{2}.
Como deu também \tfrac{1}{2}, a razão comum é realmente r=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Fórmula do termo geral (útil na prova): se a_1 é o primeiro termo e r a razão, então o n-ésimo termo é
a_n=a_1\,r^{\,n-1}.
Aqui, substituindo a_1=3 e r=\dfrac{1}{2}, obtemos
a_n=3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}.
Isso também mostra que os termos vão ficando menores e tendem a zero quando n cresce.

Passo 5

Regras rápidas para classificar (úteis na hora da prova):
  • Se r>1 e a_1>0, a PG é crescente (os termos aumentam).
  • Se 0<r<1 e a_1>0, a PG é decrescente (os termos diminuem, permanecendo positivos).
  • Se r=1, é constante.
  • Se r<0, os sinais alternam e a PG é oscilante (alterna entre positivo e negativo).
Aplicando ao caso: aqui r=\dfrac{1}{2} satisfaz 0<r<1 e a_1=3>0. Logo, cada termo seguinte é a_{n+1}=r\,a_n com 0<r<1, portanto a_{n+1}<a_n para todo n. Conclusão: a sequência é decrescente (estritamente decrescente) e os termos são todos positivos.

Resposta

Razão: \dfrac{1}{2}
Classificação: Decrescente

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