Determine a razão de cada uma das seguintes progressões geométricas e classifique-as em Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.
(6,-18,54, \ldots)

Passo 1

O enunciado dá a sequência geométrica \,(6,-18,54,\ldots)\, e pede duas coisas:
  • Determinar a razão da progressão geométrica.
  • Classificar a progressão como Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.
Informações relevantes fornecidas:
  • Primeiro termo: a_1=6.
  • Segundo termo: a_2=-18.
  • Terceiro termo: a_3=54.

Passo 2

Definição prática: numa progressão geométrica (PG), a razão r é o quociente entre um termo e o termo anterior. Ou seja, para termos consecutivos a_n e a_{n+1} vale
r=\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Vou calcular a razão usando os dois primeiros termos:
r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-18}{6}.
Agora faço a divisão: \dfrac{-18}{6}=-3. Logo, por esse par de termos,
r=-3.

Passo 3

Verificação rápida (bom hábito em prova): confirmar que o mesmo r vale entre o segundo e o terceiro termo:
\frac{a_3}{a_2}=\frac{54}{-18}=-3,
portanto a razão é consistente e realmente \,r=-3.

Passo 4

Fórmula geral da PG e interpretação: o n-ésimo termo de uma PG é dado por
a_n=a_1\cdot r^{\,n-1},
onde a_1 é o primeiro termo e r é a razão. Para esta PG temos, portanto,
a_n=6\cdot(-3)^{\,n-1}.

Passo 5

Regras simples para classificar uma PG (versão prática para a prova):
  • Se r=1, a sequência é constante (todos os termos iguais).
  • Se r>0 e r>1, os termos mantêm o mesmo sinal e, em módulo, estão crescendo; para a_1>0 costuma-se dizer que é crescente; para a_1<0 os valores ficam cada vez mais negativos (comportamento não estritamente igual ao caso a_1>0 mas, na prática de classificação simples, r>1 indica crescimento em módulo).
  • Se 0<r<1, em módulo os termos diminuem (decrescente em módulo).
  • Se r<0, os sinais dos termos alternam (positivo, negativo, positivo, …), e dizemos que a sequência é oscillante (ou Oscilante).
No nosso caso r=-3 é negativo, então os termos alternam de sinal: 6 (positivo), -18 (negativo), 54 (positivo), -162, … Por isso a classificação correta é Oscilante. Observação adicional: |r|=3>1 indica que o valor absoluto dos termos cresce em módulo, mas a classificação pedida entre as quatro opções dada no enunciado corresponde a “Oscilante” por causa do sinal negativo de r.

Resposta

\text{Razão}= -3ã
\text{Classificação}= \text{Oscilante}çã

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