Determine a razão de cada uma das seguintes progressões geométricas e classifique-as em Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.
Passo 1
O enunciado dá a sequência geométrica
e pede duas coisas:
- Determinar a razão da progressão geométrica.
- Classificar a progressão como Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.
Informações relevantes fornecidas:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
.
Passo 2
Definição prática: numa progressão geométrica (PG), a razão
é o quociente entre um termo e o termo anterior. Ou seja, para termos consecutivos
e
vale
Vou calcular a razão usando os dois primeiros termos:
Agora faço a divisão:
. Logo, por esse par de termos,
Passo 3
Verificação rápida (bom hábito em prova): confirmar que o mesmo
vale entre o segundo e o terceiro termo:
portanto a razão é consistente e realmente
.
Passo 4
Fórmula geral da PG e interpretação: o
-ésimo termo de uma PG é dado por
onde
é o primeiro termo e
é a razão. Para esta PG temos, portanto,
Passo 5
Regras simples para classificar uma PG (versão prática para a prova):
- Se
, a sequência é constante (todos os termos iguais). - Se
e , os termos mantêm o mesmo sinal e, em módulo, estão crescendo; para costuma-se dizer que é crescente; para os valores ficam cada vez mais negativos (comportamento não estritamente igual ao caso mas, na prática de classificação simples, indica crescimento em módulo). - Se
, em módulo os termos diminuem (decrescente em módulo). - Se
, os sinais dos termos alternam (positivo, negativo, positivo, …), e dizemos que a sequência é oscillante (ou Oscilante).
No nosso caso
é negativo, então os termos alternam de sinal:
(positivo),
(negativo),
(positivo),
, … Por isso a classificação correta é Oscilante. Observação adicional:
indica que o valor absoluto dos termos cresce em módulo, mas a classificação pedida entre as quatro opções dada no enunciado corresponde a “Oscilante” por causa do sinal negativo de
.