Determine a razão de cada uma das seguintes progressões geométricas e classifique-as em Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.
\left(8,2, \frac{1}{2}, \ldots\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
\left(8,2,\frac{1}{2},\ldots\right).
O que se pede:
  • Determinar a razão da progressão geométrica.
  • Classificá‑la em uma das opções: Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante.

Passo 2

O que é necessário usar (explicação didática): numa progressão geométrica (PG) cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. Se chamarmos os termos de (a_1,a_2,a_3,\ldots) e a razão de r, vale
a_{n+1}=a_n\cdot r
para todo n. Portanto, a maneira direta de encontrar r é dividir um termo pelo termo anterior:
r=\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Aqui vamos aplicar isso aos primeiros termos fornecidos.

Passo 3

Calcular a razão usando os dois primeiros termos:
r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{8}.
Fazendo a simplificação:
\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
Logo, até agora \,r=\frac{1}{4}.

Passo 4

Verificação com os termos seguintes (para garantir que é realmente uma PG com razão constante):
\frac{a_3}{a_2}=\frac{\tfrac{1}{2}}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.
Como o quociente entre a_3 e a_2 também é \tfrac{1}{4}, a razão é consistente e igual a \tfrac{1}{4}.

Passo 5

Agora, como classificar (explicação didática e regras simples):
  • Se r=1 a PG é constante (todos os termos iguais).
  • Se r>1 e os termos são positivos, os termos crescem: PG crescente.
  • Se 0<r<1 e os termos são positivos, cada termo é menor que o anterior: PG decrescente.
  • Se r<0 a PG alterna o sinal dos termos (positivos e negativos): PG oscilante.
    Além disso, a comparação entre termos vem de a_{n+1}=a_n r. Se 0<r<1 e a_n>0, então a_{n+1}=a_n r<a_n, ou seja, decresce.

Passo 6

Aplicando as regras ao nosso caso:
  • Encontramos \,r=\tfrac{1}{4}, que satisfaz 0<r<1.
  • O primeiro termo a_1=8 é positivo, e como 0<r<1 a sequência de termos positivos será estritamente decrescente.
    Exemplo concreto dos termos seguintes: 8,\;2,\;\tfrac{1}{2},\;\tfrac{1}{8},\;\tfrac{1}{32},\ldots — todos positivos e cada um menor que o anterior.

Resposta

Razão: \dfrac{1}{4}
Classificação: Decrescente

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