Determine a resposta total de um sistema com um grau de Liberdade com
, sob as seguintes condições:
(i) Uma força externa
age sob o sistema com
e
.
(i) Uma força externa
Passo 1
O enunciado pede a resposta total
(transiente + regime permanente) de um sistema de um grau de liberdade sujeito a uma força harmônica. Dados fornecidos:
-
-
-
-
-
- Força externa
com e .
O que se pede: determinar explicitamente
para
, somando a solução homogênea (transiente) e a solução particular (regime forçado).
Passo 2
Escrever a equação de movimento do sistema massa-mola-amortecedor:
Aqui:
-
é a aceleração, -
é a velocidade, -
é a força inercial, -
é a força de amortecimento viscosa, -
é a força elástica, -
é a força externa aplicada.
Passo 3
Calcular parâmetros do sistema que vamos usar:
- Frequência natural não amortecida
:
- Razão de amortecimento (damping ratio)
:
- Frequência amortecida
(quando , subamortecido):
Comentário rápido (aula curta):
é a frequência do sistema sem amortecimento;
mede quão “forte” é o amortecimento (valores pequenos indicam oscilações que decaem lentamente);
é a frequência das oscilações do transiente quando há amortecimento.
Passo 4
Forma geral da solução:
onde
é a solução homogênea (transiente) da equação sem forçamento e
é uma solução particular para o forçamento harmônico.
Para amortecimento subcrítico (
) a solução homogênea tem a forma
com constantes
e
a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Encontrar a solução particular harmônica (regime permanente). Procuramos
onde
é a amplitude do deslocamento e
é o defasamento entre força e deslocamento. Usando a resposta em frequência do sistema:
Essas fórmulas vêm de escrever o equilíbrio fasorial entre força e impedância
.
Passo 6
Calcular numericamente
e
com os valores dados:
- Primeiro calcule
e :
- Amplitude
:
- Fase
(em radianos):
Portanto a solução particular é
Passo 7
Determinar as constantes
e
usando as condições iniciais. Em
:
logo
A derivada em
:
Calcular
: derivando
e avaliando em
dá
Calcular
: derivando
Portanto a condição
implica
ou seja
Passo 8
Calcular numericamente
e
.
Primeiro compute
e
(valores aproximados):
Então
Agora
Portanto
Passo 9
Escrever a solução total
com os valores numéricos finais:
ou simplificando o fator do expoente (
):
E a parte particular já dada:
Somando: