Determine a resposta total de um sistema com um grau de Liberdade com \mathbf{m} =10 \mathrm{~kg}, \mathrm{c}=20 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}, \mathrm{k}=4000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, x 0=0.01 \mathrm{me}(\mathrm{v} 0)=0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sob as seguintes condições:
(i) Uma força externa F(t)=F 0 \cos (\omega t) age sob o sistema com F 0=100 \mathrm{~N} e \omega =\mathbf{10 ~ r a d} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede a resposta total x(t) (transiente + regime permanente) de um sistema de um grau de liberdade sujeito a uma força harmônica. Dados fornecidos:
  • m=10\\ \text{kg}
  • c=20\\ \text{N}\cdot\text{s}/\text{m}
  • k=4000\\ \text{N}/\text{m}
  • x(0)=x_0=0,01\\ \text{m}
  • \dot{x}(0)=v_0=0\\ \text{m/s}
  • Força externa F(t)=F_0\cos(\omega t) com F_0=100\\ \text{N} e \omega=10\\ \text{rad/s}.
O que se pede: determinar explicitamente x(t) para t\ge0, somando a solução homogênea (transiente) e a solução particular (regime forçado).

Passo 2

Escrever a equação de movimento do sistema massa-mola-amortecedor:
m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F_0\cos(\omega t).
Aqui:
  • \ddot{x} é a aceleração,
  • \dot{x} é a velocidade,
  • m\ddot{x} é a força inercial,
  • c\dot{x} é a força de amortecimento viscosa,
  • kx é a força elástica,
  • F_0\cos(\omega t) é a força externa aplicada.

Passo 3

Calcular parâmetros do sistema que vamos usar:
  • Frequência natural não amortecida \omega_n:
\omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{4000}{10}}=\sqrt{400}=20\\ \text{rad/s}.
  • Razão de amortecimento (damping ratio) \zeta:
\zeta=\dfrac{c}{2m\omega_n}=\dfrac{20}{2\cdot10\cdot20}=\dfrac{20}{400}=0,05.
  • Frequência amortecida \omega_d (quando \zeta<1, subamortecido):
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=20\sqrt{1-0,05^2}=20\sqrt{0,9975}\approx19,97498\\ \text{rad/s}.
Comentário rápido (aula curta): \omega_n é a frequência do sistema sem amortecimento; \zeta mede quão “forte” é o amortecimento (valores pequenos indicam oscilações que decaem lentamente); \omega_d é a frequência das oscilações do transiente quando há amortecimento.

Passo 4

Forma geral da solução:
x(t)=x_h(t)+x_p(t),
onde x_h(t) é a solução homogênea (transiente) da equação sem forçamento e x_p(t) é uma solução particular para o forçamento harmônico.
Para amortecimento subcrítico ( \zeta<1) a solução homogênea tem a forma
x_h(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr),
com constantes A e B a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Encontrar a solução particular harmônica (regime permanente). Procuramos
x_p(t)=X\cos(\omega t-\varphi),
onde X é a amplitude do deslocamento e \varphi é o defasamento entre força e deslocamento. Usando a resposta em frequência do sistema:
X=\dfrac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}, \qquad \tan\varphi=\dfrac{c\omega}{k-m\omega^2}.
Essas fórmulas vêm de escrever o equilíbrio fasorial entre força e impedância (k-m\omega^2)+\mathrm{i}c\omega.

Passo 6

Calcular numericamente X e \varphi com os valores dados:
  • Primeiro calcule k-m\omega^2 e c\omega:
k-m\omega^2=4000-10\cdot(10)^2=4000-1000=3000, \qquad c\omega=20\cdot10=200.
  • Amplitude X:
X=\dfrac{100}{\sqrt{3000^2+200^2}}=\dfrac{100}{\sqrt{9\,000\,000+40\,000}}=\dfrac{100}{\sqrt{9\,040\,000}}\approx0,033277\\ \text{m}.
  • Fase \varphi (em radianos):
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{200}{3000}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{1}{15}\right)\approx0,066568\\ \text{rad}.
Portanto a solução particular é
x_p(t)=0,033277\cos(10\,t-0,066568).

Passo 7

Determinar as constantes A e B usando as condições iniciais. Em t=0:
x(0)=x_0= x_h(0)+x_p(0)=A+X\cos(\!-\varphi)=A+X\cos\varphi,
logo
A=x_0-X\cos\varphi.
A derivada em t\!=\!0:
\dot{x}(0)=v_0= \dot{x}_h(0)+\dot{x}_p(0).
Calcular \dot{x}_h(0): derivando x_h(t) e avaliando em 0
\dot{x}_h(0)=-\zeta\omega_n A + B\omega_d.
Calcular \dot{x}_p(0): derivando x_p
\dot{x}_p(0)=-X\omega\sin(-\varphi)=X\omega\sin\varphi.
Portanto a condição v_0=0 implica
-\zeta\omega_n A + B\omega_d + X\omega\sin\varphi = 0,
ou seja
B=\dfrac{\zeta\omega_n A - X\omega\sin\varphi}{\omega_d}.

Passo 8

Calcular numericamente A e B.
Primeiro compute \cos\varphi e \sin\varphi (valores aproximados):
\cos\varphi\approx0,997782,\qquad \sin\varphi\approx0,066518.
Então
X\cos\varphi\approx0,033277\cdot0,997782\approx0,033203,
A=x_0-X\cos\varphi=0,01-0,033203\approx-0,023203.
Agora
X\omega\sin\varphi\approx0,033277\cdot10\cdot0,066518\approx0,022140,
\zeta\omega_n A= (0,05)(20)(-0,023203) = 1\cdot(-0,023203)=-0,023203.
Portanto
B=\dfrac{-0,023203-0,022140}{19,97498}\approx\dfrac{-0,045343}{19,97498}\approx-0,002271.

Passo 9

Escrever a solução total x(t)=x_h(t)+x_p(t) com os valores numéricos finais:
x_h(t)=e^{-0,05\cdot20\,t}\bigl(-0,023203\cos(19,97498\,t)-0,002271\sin(19,97498\,t)\bigr),
ou simplificando o fator do expoente ( 0,05\cdot20=1):
x_h(t)=e^{-1\,t}\bigl(-0,023203\cos(19,97498\,t)-0,002271\sin(19,97498\,t)\bigr).
E a parte particular já dada:
x_p(t)=0,033277\cos(10\,t-0,066568).
Somando:
x(t)=e^{-1\,t}\bigl(-0,023203\cos(19,97498\,t)-0,002271\sin(19,97498\,t)\bigr)+0,033277\cos(10\,t-0,066568).

Resposta

x(t)=e^{-1\,t}\bigl(-0,023203\cos(19,97498\,t)-0,002271\sin(19,97498\,t)\bigr)+0,033277\cos(10\,t-0,066568).

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