Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
Se um sistema de equações lineares não possui variáveis livres, então ele possui uma solução única.
Se um sistema de equações lineares não possui variáveis livres, então ele possui uma solução única.
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa.
Afirmação: “Se um sistema de equações lineares não possui variáveis livres, então ele possui uma solução única.”
Informações dadas (claras no enunciado):
- Trata-se de um sistema linear arbitrário (sem especificar número de equações ou variáveis).
- A hipótese é: “não possui variáveis livres” (ou seja, todas as variáveis aparecem como variáveis básicas / correspondem a colunas-pivô na matriz dos coeficientes).
- A conclusão proposta é: “possui uma solução única”.
Passo 2
O que significa “variáveis livres” e “variáveis básicas” — explicação didática, passo a passo.
- Escrevemos um sistema linear na forma matricial
, onde é a matriz de coeficientes, é o vetor coluna das incógnitas e é o vetor dos termos constantes. - Ao reduzir a matriz
(ou a matriz aumentada ) para forma escalonada (ou linha reduzida), cada coluna de que contém um pivô (um 1 líder numa linha e zeros abaixo/acima) corresponde a uma variável básica (ou pivô). Uma coluna sem pivô corresponde a uma variável livre. - Ter “sem variáveis livres” significa que todas as
colunas de coeficientes são colunas-pivô, isto é, o número de pivôs em é igual a . Em linguagem de posto (rank): . - Sobre consistência: o sistema
é consistente (tem pelo menos uma solução) exatamente quando . Se então há uma linha do tipo com e o sistema é inconsistente (nenhuma solução). - Sobre unicidade: se o sistema é consistente e não tem variáveis livres (ou seja,
), então cada variável é determinada de forma única — portanto existe exatamente uma solução.
Resumo curto da teoria que vamos usar:
- Condição para ter solução única:
. - A hipótese do enunciado só garante
(ou seja, ausência de variáveis livres), mas não garante que . Pode ocorrer , o que gera inconsistência.
Passo 3
Mostrando por que a afirmação pode falhar — estratégia: apresentar um contraexemplo explícito e explicar passo a passo.
Vamos construir um sistema simples com uma única incógnita
- Aqui :
- O número de variáveis é
. A matriz tem posto (há um pivô na única coluna), portanto NÃO há variáveis livres (todas as variáveis — aqui só — são básicas). Assim a hipótese do enunciado (“não possui variáveis livres”) é satisfeita.]
Passo 4
Redução da matriz aumentada e detecção da inconsistência (mostrar que não existe solução).
A matriz aumentada é
Fazendo a operação de linha
obtemos
A segunda linha corresponde à equação
, ou seja
, que é uma contradição. Isso mostra que
Portanto o sistema é inconsistente e NÃO tem solução nenhuma.
Observação didática: apesar de não existir variável livre (matematicamente,
), a presença da linha contraditória na matriz aumentada impede qualquer solução. Logo a ausência de variáveis livres por si só não garante existência de solução única.]
Passo 5
Conclusão geral e dica prática para a prova.
- Conclusão lógica: a afirmação é falsa. A razão é que “não possuir variáveis livres” garante apenas que, se o sistema for consistente, então a solução é única; mas não garante que o sistema seja consistente. É preciso também verificar que não há linhas contraditórias na matriz aumentada.
- Dica prática para a prova: ao analisar se um sistema tem solução única, faça duas verificações:
- Reduza a matriz aumentada e verifique se não aparece uma linha
com (isso garante consistência). - Conte o número de pivôs nas colunas de
; se for igual ao número de variáveis ( ) e o sistema for consistente, então a solução é única.
- Reduza a matriz aumentada e verifique se não aparece uma linha
Resposta
Falsa.