Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
Se um sistema de equações lineares não possui variáveis livres, então ele possui uma solução única.

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa.
Afirmação: “Se um sistema de equações lineares não possui variáveis livres, então ele possui uma solução única.”
Informações dadas (claras no enunciado):
  • Trata-se de um sistema linear arbitrário (sem especificar número de equações ou variáveis).
  • A hipótese é: “não possui variáveis livres” (ou seja, todas as variáveis aparecem como variáveis básicas / correspondem a colunas-pivô na matriz dos coeficientes).
  • A conclusão proposta é: “possui uma solução única”.

Passo 2

O que significa “variáveis livres” e “variáveis básicas” — explicação didática, passo a passo.
  • Escrevemos um sistema linear na forma matricial A x = b, onde A é a matriz m\times n de coeficientes, x é o vetor coluna das n incógnitas e b é o vetor dos termos constantes.
  • Ao reduzir a matriz A (ou a matriz aumentada [A\mid b]) para forma escalonada (ou linha reduzida), cada coluna de A que contém um pivô (um 1 líder numa linha e zeros abaixo/acima) corresponde a uma variável básica (ou pivô). Uma coluna sem pivô corresponde a uma variável livre.
  • Ter “sem variáveis livres” significa que todas as n colunas de coeficientes são colunas-pivô, isto é, o número de pivôs em A é igual a n. Em linguagem de posto (rank): \operatorname{rank}(A)=n.
  • Sobre consistência: o sistema A x = b é consistente (tem pelo menos uma solução) exatamente quando \operatorname{rank}([A\mid b])=\operatorname{rank}(A). Se \operatorname{rank}([A\mid b])>\operatorname{rank}(A) então há uma linha do tipo [0\\\ 0\\ \dots\\\ 0\mid c] com c\neq 0 e o sistema é inconsistente (nenhuma solução).
  • Sobre unicidade: se o sistema é consistente e não tem variáveis livres (ou seja, \operatorname{rank}(A)=n), então cada variável é determinada de forma única — portanto existe exatamente uma solução.
Resumo curto da teoria que vamos usar:
  • Condição para ter solução única: \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])=n.
  • A hipótese do enunciado só garante \operatorname{rank}(A)=n (ou seja, ausência de variáveis livres), mas não garante que \operatorname{rank}([A\mid b])=\operatorname{rank}(A). Pode ocorrer \operatorname{rank}([A\mid b])>\operatorname{rank}(A), o que gera inconsistência.

Passo 3

Mostrando por que a afirmação pode falhar — estratégia: apresentar um contraexemplo explícito e explicar passo a passo.
Vamos construir um sistema simples com uma única incógnita x\) (ou seja, \(n=1\)), e duas equações contraditórias: \[\begin{cases} x = 0,\\[4pt] x = 1. \end{cases}
  • Aqui A\] é a matriz \(2\times 1:
A = \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}, \qquad b = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • O número de variáveis é n=1. A matriz A tem posto \operatorname{rank}(A)=1 (há um pivô na única coluna), portanto NÃO há variáveis livres (todas as variáveis — aqui só x — são básicas). Assim a hipótese do enunciado (“não possui variáveis livres”) é satisfeita.]

Passo 4

Redução da matriz aumentada e detecção da inconsistência (mostrar que não existe solução).
A matriz aumentada é
[A\mid b] = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Fazendo a operação de linha \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - \text{R}_1 obtemos
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
A segunda linha corresponde à equação 0\cdot x = 1, ou seja 0 = 1, que é uma contradição. Isso mostra que
\operatorname{rank}([A\mid b])=2 > \operatorname{rank}(A)=1.
Portanto o sistema é inconsistente e NÃO tem solução nenhuma.
Observação didática: apesar de não existir variável livre (matematicamente, \operatorname{rank}(A)=n), a presença da linha contraditória na matriz aumentada impede qualquer solução. Logo a ausência de variáveis livres por si só não garante existência de solução única.]

Passo 5

Conclusão geral e dica prática para a prova.
  • Conclusão lógica: a afirmação é falsa. A razão é que “não possuir variáveis livres” garante apenas que, se o sistema for consistente, então a solução é única; mas não garante que o sistema seja consistente. É preciso também verificar que não há linhas contraditórias na matriz aumentada.
  • Dica prática para a prova: ao analisar se um sistema tem solução única, faça duas verificações:
    1. Reduza a matriz aumentada e verifique se não aparece uma linha [0\\ \dots\\\ 0\mid c] com c\neq 0 (isso garante consistência).
    2. Conte o número de pivôs nas colunas de A; se for igual ao número de variáveis ( \operatorname{rank}(A)=n) e o sistema for consistente, então a solução é única.

Resposta

Falsa.

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