Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
Se um sistema de equações lineares possui duas soluções diferentes, então ele possui infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“Se um sistema de equações lineares possui duas soluções diferentes, então ele possui infinitas soluções.”
Informações dadas:
  • Há um sistema linear (coeficientes assumidos em um corpo numérico típico, por exemplo \mathbb{R}).
  • Sabe-se que existem duas soluções distintas desse sistema, digamos \mathbf{x}_1 e \mathbf{x}_2, com \mathbf{x}_1 \neq \mathbf{x}_2.
O que se pede:
  • Concluir se a afirmação acima é verdadeira ou falsa e justificar rigorosamente.

Passo 2

Primeiro, vou explicar um fato estrutural fundamental sobre sistemas lineares (a parte teórica que você precisa entender para uma prova).
Considere um sistema linear escrito em forma matricial
A\mathbf{x}=\mathbf{b},
onde A é uma matriz m\times n, \mathbf{x} é o vetor incógnita em \mathbb{R}^n e \mathbf{b}\in\mathbb{R}^m.
Dois conceitos importantes:
  • Uma solução particular é qualquer vetor \mathbf{x}_p que satisfaça A\mathbf{x}_p=\mathbf{b}.
  • O sistema homogêneo associado é A\mathbf{x}=\mathbf{0}. O conjunto de soluções desse homogêneo é o núcleo (ou nullspace) de A, denotado \operatorname{Ker}(A) ou \{\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n:\;A\mathbf{v}=\mathbf{0}\}. Esse conjunto é um subespaço vetorial (fechado para soma e multiplicação por escalar).
Fato chave (teorema padrão): se existe pelo menos uma solução particular \mathbf{x}_p de A\mathbf{x}=\mathbf{b}, então todas as soluções são exatamente
\mathbf{x}=\mathbf{x}_p+\mathbf{v},
onde \mathbf{v} percorre todas as soluções do homogêneo A\mathbf{v}=\mathbf{0}. Em outras palavras, o conjunto solução do sistema não-homogêneo é um deslocamento (afim) do núcleo de A.
Vou explicar por que isso vale: se A\mathbf{x}_p=\mathbf{b} e A\mathbf{v}=\mathbf{0}, então
A(\mathbf{x}_p+\mathbf{v})=A\mathbf{x}_p+A\mathbf{v}=\mathbf{b}+\mathbf{0}=\mathbf{b},
logo \mathbf{x}_p+\mathbf{v} é solução. E se \mathbf{x} é qualquer solução, então A(\mathbf{x}-\mathbf{x}_p)=A\mathbf{x}-A\mathbf{x}_p=\mathbf{b}-\mathbf{b}=\mathbf{0}, então \mathbf{x}-\mathbf{x}_p está no núcleo; assim \mathbf{x}=\mathbf{x}_p+(\mathbf{x}-\mathbf{x}_p).

Passo 3

Agora usemos essa estrutura para o caso em que já sabemos que existem duas soluções distintas \mathbf{x}_1 e \mathbf{x}_2 do sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b}.
Pelo resultado do passo anterior, qualquer solução difere de uma solução particular por um vetor do núcleo. Tomando \mathbf{x}_1 como solução particular, deve acontecer que \mathbf{x}_2=\mathbf{x}_1+\mathbf{v} para algum \mathbf{v} com A\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Como \mathbf{x}_1\neq\mathbf{x}_2, segue que \mathbf{v}=\mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1 é um vetor não nulo do núcleo de A. Ou seja, o núcleo contém um vetor não nulo.

Passo 4

Agora precisamos deduzir quantas soluções existem a partir do fato de que \operatorname{Ker}(A) contém um vetor não nulo.
Propriedade: se um subespaço vetorial tem um vetor não nulo, então ele contém infinitos vetores (quando o corpo dos escalares é infinito, por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}). Mais explicitamente, se \mathbf{v}\neq\mathbf{0} e \lambda varia em \mathbb{R}, então \lambda\mathbf{v} são todos distintos para diferentes \lambda e todos estão no núcleo. Portanto existem infinitos vetores no núcleo.
Aplicando isso ao conjunto de soluções do sistema não-homogêneo: para cada \lambda\in\mathbb{R} temos
\mathbf{x}(\lambda)=\mathbf{x}_1+\lambda(\mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1).
Verifique:
A\mathbf{x}(\lambda)=A\mathbf{x}_1+\lambda A(\mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1)=\mathbf{b}+\lambda(\mathbf{b}-\mathbf{b})=\mathbf{b},
logo cada \mathbf{x}(\lambda) é solução. E se \lambda_1\neq\lambda_2 então \mathbf{x}(\lambda_1)\neq\mathbf{x}(\lambda_2) (porque \mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1\neq\mathbf{0} e o corpo é infinito), portanto obtemos infinitas soluções distintas.

Passo 5

Um exemplo concreto para intuir: o sistema com uma equação x+y=1 tem, por exemplo, \mathbf{x}_1=(0,1) e \mathbf{x}_2=(1,0) como duas soluções distintas. A família
(x,y)=(0,1)+\lambda\big((1,0)-(0,1)\big)=(\lambda,1-\lambda)
com \lambda\in\mathbb{R} dá todas as soluções — são infinitas.

Passo 6

Observação importante (cuidado técnico sobre o corpo de coeficientes): o argumento acima usa que o conjunto de escalares é infinito (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}). Se o sistema for considerado sobre um corpo finito (por exemplo \mathbb{F}_p, o corpo com p elementos), então o núcleo não trivial ainda existe quando há duas soluções distintas, mas o número total de soluções será finito (por exemplo p^k se a dimensão do núcleo for k). Nesse contexto a afirmação “possui infinitas soluções” seria falsa simplesmente porque o universo dos vetores é finito. Contudo, em cursos de graduação em exatas o contexto padrão é \mathbb{R} (ou \mathbb{C}), onde o corpo é infinito.

Passo 7

Conclusão final no contexto usual ( \mathbb{R} ou \mathbb{C}): se um sistema linear tem duas soluções diferentes, então tem infinitas soluções (porque a existência de duas soluções implica existência de um vetor não nulo no núcleo, e disso segue uma família paramétrica infinita de soluções).

Resposta

Verdadeiro.

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