Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
Se um sistema de equações lineares possui duas soluções diferentes, então ele possui infinitas soluções.
Se um sistema de equações lineares possui duas soluções diferentes, então ele possui infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“Se um sistema de equações lineares possui duas soluções diferentes, então ele possui infinitas soluções.”
Informações dadas:
- Há um sistema linear (coeficientes assumidos em um corpo numérico típico, por exemplo
). - Sabe-se que existem duas soluções distintas desse sistema, digamos
e , com .
O que se pede:
- Concluir se a afirmação acima é verdadeira ou falsa e justificar rigorosamente.
Passo 2
Primeiro, vou explicar um fato estrutural fundamental sobre sistemas lineares (a parte teórica que você precisa entender para uma prova).
Considere um sistema linear escrito em forma matricial
onde
é uma matriz
,
é o vetor incógnita em
e
.
Dois conceitos importantes:
- Uma solução particular é qualquer vetor
que satisfaça . - O sistema homogêneo associado é
. O conjunto de soluções desse homogêneo é o núcleo (ou nullspace) de , denotado ou . Esse conjunto é um subespaço vetorial (fechado para soma e multiplicação por escalar).
Fato chave (teorema padrão): se existe pelo menos uma solução particular
de
, então todas as soluções são exatamente
onde
percorre todas as soluções do homogêneo
. Em outras palavras, o conjunto solução do sistema não-homogêneo é um deslocamento (afim) do núcleo de
.
Vou explicar por que isso vale: se
e
, então
logo
é solução. E se
é qualquer solução, então
, então
está no núcleo; assim
.
Passo 3
Agora usemos essa estrutura para o caso em que já sabemos que existem duas soluções distintas
e
do sistema
.
Pelo resultado do passo anterior, qualquer solução difere de uma solução particular por um vetor do núcleo. Tomando
como solução particular, deve acontecer que
para algum
com
.
Como
, segue que
é um vetor não nulo do núcleo de
. Ou seja, o núcleo contém um vetor não nulo.
Passo 4
Agora precisamos deduzir quantas soluções existem a partir do fato de que
contém um vetor não nulo.
Propriedade: se um subespaço vetorial tem um vetor não nulo, então ele contém infinitos vetores (quando o corpo dos escalares é infinito, por exemplo
ou
). Mais explicitamente, se
e
varia em
, então
são todos distintos para diferentes
e todos estão no núcleo. Portanto existem infinitos vetores no núcleo.
Aplicando isso ao conjunto de soluções do sistema não-homogêneo: para cada
temos
Verifique:
logo cada
é solução. E se
então
(porque
e o corpo é infinito), portanto obtemos infinitas soluções distintas.
Passo 5
Um exemplo concreto para intuir: o sistema com uma equação
tem, por exemplo,
e
como duas soluções distintas. A família
com
dá todas as soluções — são infinitas.
Passo 6
Observação importante (cuidado técnico sobre o corpo de coeficientes): o argumento acima usa que o conjunto de escalares é infinito (por exemplo
ou
). Se o sistema for considerado sobre um corpo finito (por exemplo
, o corpo com
elementos), então o núcleo não trivial ainda existe quando há duas soluções distintas, mas o número total de soluções será finito (por exemplo
se a dimensão do núcleo for
). Nesse contexto a afirmação “possui infinitas soluções” seria falsa simplesmente porque o universo dos vetores é finito. Contudo, em cursos de graduação em exatas o contexto padrão é
(ou
), onde o corpo é infinito.
Passo 7
Conclusão final no contexto usual (
ou
): se um sistema linear tem duas soluções diferentes, então tem infinitas soluções (porque a existência de duas soluções implica existência de um vetor não nulo no núcleo, e disso segue uma família paramétrica infinita de soluções).
Resposta
Verdadeiro.