O que pede: determinar se T é uma aplicação linear (ou seja, responder “sim” ou “não” e justificar). Informações relevantes que temos:
O domínio é o espaço vetorial P_{2} (polinômios de grau ≤ 2).
O contradomínio é P_{3} (polinômios de grau ≤ 3).
A regra de T manda o coeficiente de x^{2} para a posição de x^{3}, o coeficiente de x para x^{2} e o termo constante para x.
Não farei mais nada neste passo além de enumerar o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Recordando a definição prática de aplicação linear: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades para todo p,q\in P_{2} e todo escalar \lambda:
Aditividade: \;T(p+q)=T(p)+T(q).
Homogeneidade (ou multiplicação por escalar): \;T(\lambda p)=\lambda T(p).
Vou usar exatamente essas duas propriedades para testar T. Sempre que eu usar uma fórmula vou explicar o que cada símbolo significa:
p e q são polinômios genéricos de P_{2}.
\lambda é um número real qualquer (escalar).
Passo 3
Escrevo polinômios gerais em P_{2}. Seja
p(x)=a x^{2}+b x+c, \qquad q(x)=d x^{2}+e x+f,
onde a,b,c,d,e,f são escalares reais. Segundo a definição dada,
A propriedade de homogeneidade também está satisfeita.
Passo 6
Conclusão teórica rápida (útil na prova): como T preserva soma e multiplicação por escalar para elementos genéricos de P_{2}, T é linear. Outra maneira de ver isso (intuição): para todo polinômio p\in P_{2} vale
T(p)(x)=x\cdot p(x).
Multiplicar por um polinômio fixo (x) é sempre uma transformação linear — porque o produto distribui sobre soma e escalares saem multiplicando. Essa observação dá uma justificativa alternativa curta e elegante.
Passo 7
Exemplo concreto e matriz da transformação (opcional, para fixar): tomando bases canônicas
\text{base de }P_{2}: \{x^{2},x,1\}, \qquad \text{base de }P_{3}: \{x^{3},x^{2},x,1\},
temos
T(x^{2})=x^{3},\quad T(x)=x^{2},\quad T(1)=x.
Na forma matricial (colunas correspondendo às imagens das bases de P_{2} expressas na base de P_{3}) a matriz de T é