Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares:
T: P_{2} \longrightarrow P_{3} ; T\left(a x^{2}+b x+c\right)=a x^{3}+b x^{2}+c x

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a aplicação
T: P_{2} \longrightarrow P_{3},\qquad T\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr)=a x^{3}+b x^{2}+c x.
O que pede: determinar se T é uma aplicação linear (ou seja, responder “sim” ou “não” e justificar). Informações relevantes que temos:
  • O domínio é o espaço vetorial P_{2} (polinômios de grau ≤ 2).
  • O contradomínio é P_{3} (polinômios de grau ≤ 3).
  • A regra de T manda o coeficiente de x^{2} para a posição de x^{3}, o coeficiente de x para x^{2} e o termo constante para x.
    Não farei mais nada neste passo além de enumerar o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Recordando a definição prática de aplicação linear: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades para todo p,q\in P_{2} e todo escalar \lambda:
  1. Aditividade: \;T(p+q)=T(p)+T(q).
  2. Homogeneidade (ou multiplicação por escalar): \;T(\lambda p)=\lambda T(p).
Vou usar exatamente essas duas propriedades para testar T. Sempre que eu usar uma fórmula vou explicar o que cada símbolo significa:
  • p e q são polinômios genéricos de P_{2}.
  • \lambda é um número real qualquer (escalar).

Passo 3

Escrevo polinômios gerais em P_{2}. Seja
p(x)=a x^{2}+b x+c, \qquad q(x)=d x^{2}+e x+f,
onde a,b,c,d,e,f são escalares reais. Segundo a definição dada,
T\bigl(p(x)\bigr)=a x^{3}+b x^{2}+c x, \qquad T\bigl(q(x)\bigr)=d x^{3}+e x^{2}+f x.
Essas expressões mostram explicitamente a imagem de p e q por T.

Passo 4

Teste da aditividade: calculo p+q e aplico T.
p(x)+q(x)=(a+d)x^{2}+(b+e)x+(c+f).
Aplicando T a p+q usando a regra do enunciado:
T\bigl(p+q\bigr)= (a+d)x^{3}+(b+e)x^{2}+(c+f)x.
Agora calcule T(p)+T(q):
T(p)+T(q) = \bigl(a x^{3}+b x^{2}+c x\bigr) + \bigl(d x^{3}+e x^{2}+f x\bigr)
\quad= (a+d)x^{3}+(b+e)x^{2}+(c+f)x.
Comparando as duas expressões vemos que
T\bigl(p+q\bigr)=T(p)+T(q).
Portanto a propriedade de aditividade está satisfeita para polinômios genéricos p,q.

Passo 5

Teste da homogeneidade: seja \lambda um escalar qualquer. Primeiro \lambda p:
\lambda p(x)= (\lambda a)x^{2}+(\lambda b)x+(\lambda c).
Aplicando T a \lambda p:
T(\lambda p)= (\lambda a)x^{3}+(\lambda b)x^{2}+(\lambda c)x.
Por outro lado, \lambda T(p) é
\lambda T(p)=\lambda\bigl(a x^{3}+b x^{2}+c x\bigr)=(\lambda a)x^{3}+(\lambda b)x^{2}+(\lambda c)x.
Portanto
T(\lambda p)=\lambda T(p).
A propriedade de homogeneidade também está satisfeita.

Passo 6

Conclusão teórica rápida (útil na prova): como T preserva soma e multiplicação por escalar para elementos genéricos de P_{2}, T é linear. Outra maneira de ver isso (intuição): para todo polinômio p\in P_{2} vale
T(p)(x)=x\cdot p(x).
Multiplicar por um polinômio fixo ( x) é sempre uma transformação linear — porque o produto distribui sobre soma e escalares saem multiplicando. Essa observação dá uma justificativa alternativa curta e elegante.

Passo 7

Exemplo concreto e matriz da transformação (opcional, para fixar): tomando bases canônicas
\text{base de }P_{2}: \{x^{2},x,1\}, \qquad \text{base de }P_{3}: \{x^{3},x^{2},x,1\},
temos
T(x^{2})=x^{3},\quad T(x)=x^{2},\quad T(1)=x.
Na forma matricial (colunas correspondendo às imagens das bases de P_{2} expressas na base de P_{3}) a matriz de T é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
que é compatível com linearidade (linhas/colunas mostram a ação linear sobre os coeficientes).]

Resposta

Sim. T é uma aplicação linear.

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