é convergente, usando os dois testes: o teste de d’Alembert (razão) e o teste de Cauchy (raiz).
Informações que temos do enunciado:
O termo geral da série é a_n=\left(\dfrac{\ln n}{n}\right)^{n}.
Os termos são positivos para n\ge2 (para n=1 temos (\ln 1/1)^1=0, o que não afeta a convergência da série inteira).
O objetivo é aplicar ambos os testes e justificar passo a passo porque cada um indica convergência ou divergência.
Passo 2
Teste de d’Alembert (teste da razão) — enunciado e estratégia.
Enunciado do teste de d’Alembert: para uma série com termos positivos a_n>0, se existir o limite
Agora precisamos da forma limite de b_n^{\,n}. Para isso é conveniente trabalhar com logaritmo de b_n e usar expansões assintóticas pequenas. Primeiro, para n grande:
Como 0<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente.
Passo 4
Interpretação e intuição rápida (para fixar o raciocínio).
Uma visão alternativa, útil para entender por que os termos são extremamente pequenos: escrevendo
a_n=\left(\frac{\ln n}{n}\right)^{n}=\exp\!\Big(n\ln(\ln n)-n\ln n\Big) =\exp\!\big(-n\ln n + n\ln\ln n\big).
Para n grande o termo dominante no expoente é -n\ln n (negativo e de grande módulo), então a_n decai muito rápido para 0 — muito mais rápido do que, por exemplo, uma potência geométrica r^{n} com r<1. Por isso tanto o teste da razão quanto o da raiz mostram claramente convergência absoluta. O teste da raiz é, aqui, o mais direto: a n-ésima raiz dá exatamente \ln n/n que vai a 0.