Determine se a série \sum(\ln (n) / n)^{n} é convergente usando ambos os testes, de d’Alembert e Cauchy.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\ln n}{n}\right)^{n}
é convergente, usando os dois testes: o teste de d’Alembert (razão) e o teste de Cauchy (raiz).
Informações que temos do enunciado:
  • O termo geral da série é a_n=\left(\dfrac{\ln n}{n}\right)^{n}.
  • Os termos são positivos para n\ge2 (para n=1 temos (\ln 1/1)^1=0, o que não afeta a convergência da série inteira).
    O objetivo é aplicar ambos os testes e justificar passo a passo porque cada um indica convergência ou divergência.

Passo 2

Teste de d’Alembert (teste da razão) — enunciado e estratégia.
Enunciado do teste de d’Alembert: para uma série com termos positivos a_n>0, se existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n},
então
  • se L<1 a série converge absolutamente;
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
Vamos calcular \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Substituindo a_n=\left(\dfrac{\ln n}{n}\right)^{n}:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left(\dfrac{\ln(n+1)}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(\dfrac{\ln n}{n}\right)^{n}} = \frac{(\ln(n+1))^{n+1}\,n^{n}}{(n+1)^{n+1}\,(\ln n)^{n}}.
Agrupando fatores úteis:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\ln(n+1)}{\,n+1\,}\left(\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\cdot\frac{n}{n+1}\right)^{n}.
Denotemos o fator dentro do parêntese por
b_n=\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\cdot\frac{n}{n+1}.
Então
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\ln(n+1)}{n+1}\,b_n^{\,n}.
Agora precisamos da forma limite de b_n^{\,n}. Para isso é conveniente trabalhar com logaritmo de b_n e usar expansões assintóticas pequenas. Primeiro, para n grande:
\ln(n+1)=\ln n+\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=\ln n+\frac{1}{n}+O\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right).
Assim
\frac{\ln(n+1)}{\ln n} =1+\frac{\ln(n+1)-\ln n}{\ln n} =1+\frac{1}{n\ln n}+O\!\left(\frac{1}{n^{2}\ln n}\right).
E
\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n}+O\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right).
Multiplicando essas duas expansões (produto de quantidades próximas de 1) dá
b_n =1+\frac{-1+\dfrac{1}{\ln n}}{n}+o\!\left(\frac{1}{n}\right).
Para pequenas x vale \ln(1+x)=x+o(x). Aplicando com x=b_n-1 (que é da ordem 1/n), obtemos
\ln b_n=\frac{-1+\dfrac{1}{\ln n}}{n}+o\!\left(\frac{1}{n}\right).
Multiplicando por n,
n\ln b_n=-1+\frac{1}{\ln n}+o(1)\xrightarrow[n\to\infty]{}-1.
Portanto
b_n^{\,n}=\exp\!\big(n\ln b_n\big)\xrightarrow[n\to\infty]{}e^{-1}=\frac{1}{e}.
Voltando à razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\ln(n+1)}{n+1}\,b_n^{\,n}.
Já vimos que b_n^{\,n}\to 1/e. O fator \dfrac{\ln(n+1)}{n+1} tende a 0 porque o log cresce bem mais devagar que n. Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0.
Pelo teste de d’Alembert, como 0<1, a série converge absolutamente.

Passo 3

Teste de Cauchy (teste da raiz) — enunciado e aplicação direta.
Enunciado do teste da raiz: para a série com termos a_n\ge0, calcule
L_{\text{raiz}}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}.
Se L_{\text{raiz}}<1 a série converge absolutamente; se L_{\text{raiz}}>1 diverge; se L_{\text{raiz}}=1 é inconclusivo.
No nosso caso a_n=\left(\dfrac{\ln n}{n}\right)^{n}. A n-ésima raiz é imediata:
\sqrt[n]{a_n}=\frac{\ln n}{n}.
Logo
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0.
Como 0<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente.

Passo 4

Interpretação e intuição rápida (para fixar o raciocínio).
Uma visão alternativa, útil para entender por que os termos são extremamente pequenos: escrevendo
a_n=\left(\frac{\ln n}{n}\right)^{n}=\exp\!\Big(n\ln(\ln n)-n\ln n\Big) =\exp\!\big(-n\ln n + n\ln\ln n\big).
Para n grande o termo dominante no expoente é -n\ln n (negativo e de grande módulo), então a_n decai muito rápido para 0 — muito mais rápido do que, por exemplo, uma potência geométrica r^{n} com r<1. Por isso tanto o teste da razão quanto o da raiz mostram claramente convergência absoluta. O teste da raiz é, aqui, o mais direto: a n-ésima raiz dá exatamente \ln n/n que vai a 0.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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