Determine T(x, y, z) onde T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} é dada por T(1,1,1)=3, T(0,1,-2)=1 e T(0,0,1)= -2 .

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} e informa os valores de T em três vetores:
  • T(1,1,1)=3,
  • T(0,1,-2)=1,
  • T(0,0,1)=-2.
A pergunta é: determinar T(x,y,z) para um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.

Passo 2

Interpretação que vamos usar (importante): aqui T é o tipo de aplicação que normalmente aparece em álgebra linear — estamos supondo que T é linear. Se T for linear, então existe um único funcional linear da forma
T(x,y,z)=ax+by+cz
para constantes reais a,b,c. Explicando por que: uma aplicação linear satisfaz T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\lambda v)=\lambda T(v); isso implica que o valor de T num vetor (x,y,z) é uma combinação linear dos valores em vetores base, e portanto pode ser escrito como ax+by+cz, onde a=T(1,0,0), b=T(0,1,0) e c=T(0,0,1).

Passo 3

Usamos as três informações dadas para obter um sistema para a,b,c\). Substituindo os vetores dados na forma \(T(x,y,z)=ax+by+cz\) obtemos: \[\begin{cases} a+b+c=3,\\[4pt] b-2c=1,\\[4pt] c=-2. \end{cases}
A terceira equação vem de T(0,0,1)=-2\], pois \(T(0,0,1)=a\cdot0+b\cdot0+c\cdot1=c.]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo:
  • Da terceira equação temos imediatamente \;c=-2.
  • Substituindo em \;b-2c=1 obtemos
b-2(-2)=1 \quad\Rightarrow\quad b+4=1 \quad\Rightarrow\quad b=-3.
  • Substituindo b=-3 e c=-2 na primeira equação a+b+c=3 obtemos
a+(-3)+(-2)=3 \quad\Rightarrow\quad a-5=3 \quad\Rightarrow\quad a=8.

Passo 5

Portanto os coeficientes são a=8, b=-3, c=-2. A forma geral do funcional linear fica
T(x,y,z)=8x-3y-2z.
Como verificação rápida: para (1,1,1) isso dá 8-3-2=3 (confere); para (0,1,-2) -3-2(-2)=-3+4=1 (confere); para (0,0,1) -2 (confere).

Resposta

T(x,y,z)=8x-3y-2z

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