Determine
onde
é dada por
e
-2 .
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação
e informa os valores de
em três vetores:
-
, -
, -
.
A pergunta é: determinar
para um vetor arbitrário
.
Passo 2
Interpretação que vamos usar (importante): aqui
é o tipo de aplicação que normalmente aparece em álgebra linear — estamos supondo que
é linear. Se
for linear, então existe um único funcional linear da forma
para constantes reais
. Explicando por que: uma aplicação linear satisfaz
e
; isso implica que o valor de
num vetor
é uma combinação linear dos valores em vetores base, e portanto pode ser escrito como
, onde
,
e
.
Passo 3
Usamos as três informações dadas para obter um sistema para
A terceira equação vem de
.]
Passo 4
Resolver o sistema passo a passo:
- Da terceira equação temos imediatamente
- Substituindo em
obtemos
- Substituindo
e na primeira equação obtemos
Passo 5
Portanto os coeficientes são
,
,
. A forma geral do funcional linear fica
Como verificação rápida: para
isso dá
(confere); para
dá
(confere); para
dá
(confere).