A função está definida em todo o plano \mathbb{R}^2 (porque para cada par (x,y) ou x+y\neq0 ou x+y=0 temos um valor definido).
A fronteira entre as duas receitas da função é a reta \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y=0\}.
Precisamos verificar continuidade em dois tipos de pontos: (i) pontos com x+y\neq 0 e (ii) pontos com x+y=0.]
Passo 2
Recordando o que significa continuidade num ponto (a,b): f é contínua em (a,b) se e somente se
\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b).
Vou aplicar essa definição primeiro aos pontos com x+y\neq0 e depois aos pontos sobre a reta x+y=0. Também vou usar a ideia útil de reduzir a função a uma função de uma única variável quando possível (aqui aparece naturalmente a soma s=x+y).
Passo 3
Continuidade em pontos com x+y\neq 0.
Sejam (a,b) tais que a+b\neq 0. Então existe um raio pequeno em torno de (a,b) onde x+y\neq0 para todos os pontos dessa vizinhança (porque a soma é contínua e não muda de sinal imediatamente). Nessa vizinhança a função é dada por
f(x,y)=\frac{\operatorname{sen}(x+y)}{x+y}.
A soma (x,y)\mapsto x+y é contínua e a função t\mapsto \operatorname{sen}(t) é contínua; portanto a função t\mapsto \dfrac{\operatorname{sen}(t)}{t} é contínua em qualquer t\neq0 (é quociente de funções contínuas com denominador não nulo). Como composição de funções contínuas, f é contínua em (a,b). Conclusão: todos os pontos com x+y\neq0 são pontos de continuidade.
Passo 4
Agora vamos tratar os pontos sobre a reta \{(x,y)\mid x+y=0\}. Seja (a,b) tal que a+b=0. Para verificar continuidade precisamos calcular
Uma observação importante (que simplifica muito): a expressão \dfrac{\operatorname{sen}(x+y)}{x+y} depende apenas da soma s=x+y. Se (x,y)\to(a,b) com a+b=0, então s=x+y\to a+b=0. Portanto podemos transformar o limite bidimensional num limite unidimensional:
Assim basta calcular o limite unidimensional \lim_{s\to0}\frac{\operatorname{sen}(s)}{s}.
Passo 5
Cálculo do limite unidimensional \displaystyle \lim_{s\to0}\frac{\operatorname{sen}(s)}{s}.
Vou usar o argumento clássico por desigualdades (teorema do sanduíche / squeeze). Para s pequeno e positivo (por exemplo 0<s<\tfrac{\pi}{2}) vale a desigualdade geométrica conhecida
\cos s \le \frac{\sin s}{s} \le 1.
Para s negativo a desigualdade análoga também vale por simetria (porque \sin é ímpar e \cos é par), então a expressão \dfrac{\sin s}{s} fica presa entre \cos s e 1 quando s tende a 0. Como
\lim_{s\to0} \cos s = 1
e o limite da constante 1 é 1, pelo teorema do sanduíche obtemos
\lim_{s\to0}\frac{\operatorname{sen}(s)}{s} = 1.
(Essa é uma fórmula padrão: \lim_{t\to0}\sin t / t = 1.)
Passo 6
Retornando ao ponto (a,b) com a+b=0, mostramos que
ou seja, f é contínua em (a,b). Como (a,b) foi um ponto arbitrário da reta x+y=0, concluímos que f é contínua em todos os pontos dessa reta.
Passo 7
Juntando as conclusões dos passos anteriores: f é contínua em todos os pontos com x+y\neq0 e também é contínua em todos os pontos com x+y=0. Logo f é contínua em todo o plano \mathbb{R}^2.