Determine todos os pontos em que a função é contínua.
F(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y^{2}}{\left|x^{3}\right|+\left|y^{3}\right|}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar todos os pontos [(x,y)) onde a função F é contínua.
Informações dadas:
F(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}y^{2}}{\lvert x^{3}\rvert+\lvert y^{3}\rvert}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
Portanto temos duas situações naturais a checar: pontos (x,y)\neq(0,0)\] e o ponto \((0,0).]

Passo 2

Definição de continuidade (lembrando do básico, como seu amigo explicando): uma função G é contínua em um ponto (x_0,y_0) se
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} G(x,y)=G(x_0,y_0).
Na prática, para funções construídas por somas, produtos, quocientes e compostos de funções contínuas, usamos as regras usuais (se o denominador não for zero, o quociente é contínuo).

Passo 3

Continuidade em (x_0,y_0)\neq(0,0).
Para (x_0,y_0)\neq(0,0) temos \lvert x_0^{3}\rvert+\lvert y_0^{3}\rvert>0 (pois pelo menos uma das coordenadas não é zero). As funções polinomiais x\mapsto x^2, y\mapsto y^2 e a função valor absoluto são contínuas, então
(x,y)\mapsto x^{2}y^{2}\quad\text{e}\quad (x,y)\mapsto \lvert x^{3}\rvert+\lvert y^{3}\rvert
são contínuas. Como o denominador é contínuo e não nulo em (x_0,y_0), o quociente
(x,y)\mapsto \frac{x^{2}y^{2}}{\lvert x^{3}\rvert+\lvert y^{3}\rvert}
é contínuo em (x_0,y_0). Logo F é contínua em todo ponto diferente de (0,0).

Passo 4

Continuidade no ponto (0,0): objetivo mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y^{2}}{\lvert x^{3}\rvert+\lvert y^{3}\rvert}=0,
pois F(0,0)=0.
Vamos obter uma desigualdade útil que force a expressão a zero. Tome um ponto (x,y)\neq(0,0) e considere os dois casos seguintes (é a técnica clássica “olhar quem é maior”):
Caso A: \lvert x\rvert\ge \lvert y\rvert. Então \lvert y\rvert\le\lvert x\rvert, daí
\lvert x\rvert^{2}\lvert y\rvert^{2}\le \lvert x\rvert^{2}\lvert x\rvert^{2}=\lvert x\rvert^{4}.
Ainda, \lvert x^{3}\rvert+\lvert y^{3}\rvert\ge \lvert x^{3}\rvert. Portanto
\left\lvert \frac{x^{2}y^{2}}{\lvert x^{3}\rvert+\lvert y^{3}\rvert}\right\rvert \le \frac{\lvert x\rvert^{4}}{\lvert x\rvert^{3}}=\lvert x\rvert.
Caso B: \lvert y\rvert\ge \lvert x\rvert. Pela simetria trocando x por y obtemos análogo:
\left\lvert \frac{x^{2}y^{2}}{\lvert x^{3}\rvert+\lvert y^{3}\rvert}\right\rvert \le \lvert y\rvert.

Passo 5

Combinação dos casos e conclusão no ponto (0,0).
Das duas desigualdades acima segue que, para todo (x,y)\neq(0,0),
\left\lvert \frac{x^{2}y^{2}}{\lvert x^{3}\rvert+\lvert y^{3}\rvert}\right\rvert \le \max\{\lvert x\rvert,\lvert y\rvert\}.
Agora, se (x,y)\to(0,0) então \max\{\lvert x\rvert,\lvert y\rvert\}\to 0. Pelo teorema do confronto (ou desigualdade direta), o quociente também tende a 0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y^{2}}{\lvert x^{3}\rvert+\lvert y^{3}\rvert}=0=F(0,0),
isto é, F é contínua em (0,0).

Passo 6

Conclusão final: F é contínua em todos os pontos do plano \mathbb{R}^{2}.

Resposta

A função F é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.

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