Portanto temos duas situações naturais a checar: pontos (x,y)\neq(0,0)\] e o ponto \((0,0).]
Passo 2
Definição de continuidade (lembrando do básico, como seu amigo explicando): uma função G é contínua em um ponto (x_0,y_0) se
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} G(x,y)=G(x_0,y_0).
Na prática, para funções construídas por somas, produtos, quocientes e compostos de funções contínuas, usamos as regras usuais (se o denominador não for zero, o quociente é contínuo).
Passo 3
Continuidade em (x_0,y_0)\neq(0,0).
Para (x_0,y_0)\neq(0,0) temos \lvert x_0^{3}\rvert+\lvert y_0^{3}\rvert>0 (pois pelo menos uma das coordenadas não é zero). As funções polinomiais x\mapsto x^2, y\mapsto y^2 e a função valor absoluto são contínuas, então
Vamos obter uma desigualdade útil que force a expressão a zero. Tome um ponto (x,y)\neq(0,0) e considere os dois casos seguintes (é a técnica clássica “olhar quem é maior”):
Caso A: \lvert x\rvert\ge \lvert y\rvert. Então \lvert y\rvert\le\lvert x\rvert, daí
Agora, se (x,y)\to(0,0) então \max\{\lvert x\rvert,\lvert y\rvert\}\to 0. Pelo teorema do confronto (ou desigualdade direta), o quociente também tende a 0. Logo