Determine todos os pontos em que a função é contínua.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os pontos em que a função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
e por outra quando .
e por outra quando
Passo 2
Simplifico a expressão no caso
. Uso a fatoração da diferença de quadrados:
Portanto, para
temos
Conclusão: a função coincide com
em todos os pontos fora da reta
.
Passo 3
Verifico a continuidade em pontos com
. Primeiro calcule
quando
:
Agora raciocino sobre vizinhança: como
, existe uma bola ao redor de
que não intercepta a reta
. Uma escolha conveniente é o raio
Se
então, pela desigualdade triangular,
logo
e portanto
nessa bola. Então, nessa bola
. Como a função
é contínua em toda parte, segue que
é contínua em
.
Portanto é contínua em todo ponto com
.
Portanto
Passo 4
Analiso os pontos sobre a reta
. Seja um ponto genérico
. Pelo enunciado, o valor da função nesse ponto é
Para decidir continuidade em
preciso comparar
com o limite
.
Passo 5
Calculo o limite aproximando
por pontos fora da reta
. Para quaisquer pontos fora da reta temos
, então ao aproximar por tais pontos
Logo qualquer sequência de pontos fora da reta
que tenda a
fará
. Por outro lado, se eu aproximar
por pontos exatamente sobre a reta
(isto é, pontos
), então
para todos esses pontos e o limite ao longo dessa sequência é
. Assim, o limite total só pode existir (e ser igual ao valor
) se esses dois valores coincidirem, isto é, se
Portanto, para
obtemos limites diferentes ao aproximar por caminhos distintos, então
é descontínua em
quando
.
Passo 6
Trato do caso especial
. Aqui
e temos
. Quero mostrar que
. Para qualquer
com
vale
; para
vale
. Em todo caso
Usando desigualdades elementares,
Seja
. Então
. Dado
, escolha
Se
então
Isso prova o critério
-
para continuidade em
. Portanto
é contínua em
.
Passo 7
Juntando tudo:
é contínua em todos os pontos fora da reta
; sobre a reta
é contínua apenas no ponto
e é descontínua em todos os pontos
com
.
Resposta
Contínua em todos os pontos
tais que
e em
.
Descontínua em todos os pontos com
.
Descontínua em todos os pontos