Determine todos os pontos em que a função é contínua.
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}, & \text { se } x \neq y \\\ x-y, & \text { se } x=y\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os pontos em que a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) abaixo é contínua. \[f(x, y)= \begin{cases}\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x-y}, & \text{se } x \neq y \\[6pt] x-y, & \text{se } x=y\end{cases}
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\;1.\]\ A função é dada por uma expressão quando \(x\neq y e por outra quando x=y.
\;2.\ Queremos saber para quais pontos (a,b)\in\mathbb{R}^2 vale que f é contínua, ou seja, que \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b).]

Passo 2

Simplifico a expressão no caso x\neq y. Uso a fatoração da diferença de quadrados:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Portanto, para x\neq y temos
\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}=x+y.
Conclusão: a função coincide com (x,y)\mapsto x+y em todos os pontos fora da reta x=y.

Passo 3

Verifico a continuidade em pontos com a\neq b. Primeiro calcule f(a,b) quando a\neq b:
f(a,b)=\frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}=a+b.
Agora raciocino sobre vizinhança: como a-b\neq 0, existe uma bola ao redor de (a,b) que não intercepta a reta x=y. Uma escolha conveniente é o raio
r=\frac{|a-b|}{2}.
Se \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<r então, pela desigualdade triangular,
|x-y-(a-b)|\le|x-a|+|y-b|<2r=|a-b|,
logo |x-y|>0 e portanto x\neq y nessa bola. Então, nessa bola f(x,y)=x+y. Como a função (x,y)\mapsto x+y é contínua em toda parte, segue que f é contínua em (a,b).
Portanto f é contínua em todo ponto com a\neq b.

Passo 4

Analiso os pontos sobre a reta x=y. Seja um ponto genérico (t,t). Pelo enunciado, o valor da função nesse ponto é
f(t,t)=t-t=0.
Para decidir continuidade em (t,t) preciso comparar f(t,t)=0 com o limite \lim_{(x,y)\to(t,t)} f(x,y).

Passo 5

Calculo o limite aproximando (x,y)\to(t,t) por pontos fora da reta x=y. Para quaisquer pontos fora da reta temos f(x,y)=x+y, então ao aproximar por tais pontos
\lim_{(x,y)\to(t,t),\;x\neq y} f(x,y)=\lim_{(x,y)\to(t,t)}(x+y)=2t.
Logo qualquer sequência de pontos fora da reta x=y que tenda a (t,t) fará f(x,y)\to 2t. Por outro lado, se eu aproximar (t,t) por pontos exatamente sobre a reta x=y (isto é, pontos (s,s)), então f(s,s)=0 para todos esses pontos e o limite ao longo dessa sequência é 0. Assim, o limite total só pode existir (e ser igual ao valor 0) se esses dois valores coincidirem, isto é, se
2t=0.
Portanto, para t\neq 0 obtemos limites diferentes ao aproximar por caminhos distintos, então f é descontínua em (t,t) quando t\neq 0.

Passo 6

Trato do caso especial (0,0). Aqui t=0 e temos f(0,0)=0. Quero mostrar que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0. Para qualquer (x,y) com x\neq y vale f(x,y)=x+y; para x=y vale f(x,y)=0. Em todo caso
|f(x,y)-0|=|f(x,y)|\le |x+y|.
Usando desigualdades elementares,
|x+y|\le |x|+|y|\le \sqrt{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Seja \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Então |f(x,y)|\le \sqrt{2}\,\rho. Dado \varepsilon>0, escolha
\delta=\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}.
Se \sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}=\rho<\delta então
|f(x,y)-0|\le \sqrt{2}\,\rho<\sqrt{2}\,\delta=\varepsilon.
Isso prova o critério \varepsilon- \delta para continuidade em (0,0). Portanto f é contínua em (0,0).

Passo 7

Juntando tudo: f é contínua em todos os pontos fora da reta x=y; sobre a reta x=y é contínua apenas no ponto (0,0) e é descontínua em todos os pontos (t,t) com t\neq 0.

Resposta

Contínua em todos os pontos (x,y) tais que x\neq y e em (0,0).
Descontínua em todos os pontos (t,t) com t\neq 0.

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