Determine todos os pontos em que a função é contínua. F(x, y)=\frac{1}{x-y}
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar todos os pontos (x,y) nos quais a função
F(x,y)=\frac{1}{x-y}
é contínua.
Informações dadas:
F(x,y)=\frac{1}{x-y}.
Observação imediata (apenas listando informação): o denominador é (x-y); sempre que (x-y)=0 a expressão não está definida.
Passo 2
Lembrete didático sobre o que significa “continuidade” num ponto em \mathbb{R}^2.
Definição prática: uma função f é contínua em um ponto (a,b) se
\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b).
Importante: para perguntar se f é contínua em (a,b) primeiro precisamos que f(a,b) exista (ou seja, (a,b) deve pertencer ao domínio da função). Se f(a,b) não está definido, não faz sentido dizer que f é contínua ali (nesse caso dizemos que não é contínua nesse ponto, pois falta valor).
Teorema útil que vamos usar (sem prova completa, mas intuitivamente óbvio e com fundamento): somas, produtos e quocientes (quando o denominador não se anula) de funções contínuas são contínuos. Em particular, se g(x,y) é contínua e g(a,b)\neq0, então \frac{1}{g(x,y)} é contínua em (a,b).
Passo 3
Identificar o domínio natural da função.
A função \frac{1}{x-y} só está definida quando o denominador é diferente de zero. Logo o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-y\neq0\}.
Em linguagem geométrica, D é o plano \mathbb{R}^2 com a reta \{(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\} removida.
Passo 4
Mostrar que a função é contínua em todo ponto do domínio D.
Tomemos um ponto qualquer (a,b)\in D. Isso significa que a-b\neq0. Vou provar que \lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{1}{x-y}=\frac{1}{a-b} por um argumento \varepsilon-\delta elementar (bem mastigado).
Queremos controlar a expressão acima por um \varepsilon>0. Como a-b\neq0, existe um número positivo d:=|a-b|>0. Escolhemos \delta pequeno o bastante para garantir duas coisas: (i) |(x-y)-(a-b)|<d/2, o que implica |x-y|>d/2; (ii) |x-a|<\delta e |y-b|<\delta tornam a soma |x-a|+|y-b| pequena. Mais precisamente, escolha
Se \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta então em particular |x-a|<\delta e |y-b|<\delta, logo |x-a|+|y-b|<2\delta\le \frac{\varepsilon d^{2}}{2}. Usando as desigualdades anteriores e o fato de |x-y|>d/2 obtemos
Portanto, para esse \delta temos \left|\frac{1}{x-y}-\frac{1}{a-b}\right|<\varepsilon sempre que (x,y) estiver no disco de raio \delta centrado em (a,b). Isso mostra que
\lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{1}{x-y}=\frac{1}{a-b},
ou seja, a função é contínua em todo (a,b)\in D. Intuitivamente: x-y é uma função linear (portanto contínua) que não se anula em (a,b), e o inverso de uma função contínua não nula é contínuo.
Passo 5
Analisar pontos fora do domínio, i.e., na reta \{(x,x)\}.
Se (a,a) é um ponto com x=y, então F(a,a) não está definido; portanto a função não é contínua em (a,a) porque nem sequer tem valor ali. Além disso, podemos ver que não existe limite finito ao nos aproximarmos de (a,a): escolha duas sequências que se aproximam de (a,a) dando comportamentos diferentes/infinitos. Por exemplo, tome
Como as duas aproximações dão comportamentos que divergem e com sinais opostos, não existe limite finito quando (x,y)\to(a,a). Assim, mesmo como limite, não existe valor que torne a função contínua em (a,a).
Passo 6
Conclusão final: juntando os resultados anteriores, a função é contínua exatamente em todos os pontos onde está definida, isto é, em todos (x,y) tais que x\neq y; e não é contínua (nem definida) na reta x=y.