Determine todos os pontos em que a função é contínua.
f(x, y)=\ln \left(x y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os pontos (x,y) em que a função
f(x,y)=\ln\!\big(xy^{2}\big)
é contínua. Informações relevantes dadas pelo enunciado: a fórmula de f e que o logaritmo natural \ln(\cdot) só está definido para argumentos estritamente positivos. Não há figuras nem tabelas.

Passo 2

Primeiro vamos achar o domínio (conjunto de pontos onde f está definida). A função \ln(t) exige que o argumento satisfaça t>0. Aqui o argumento é t=xy^{2}. Portanto a condição para existir f(x,y) é
xy^{2}>0.
Agora analisamos essa desigualdade: para todo y, y^{2}\ge 0 e y^{2}=0 exatamente quando y=0. Se y\neq 0 então y^{2}>0, e a desigualdade xy^{2}>0 equivale a x>0. Se y=0 então xy^{2}=0 para qualquer x, que não satisfaz >0. Logo o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x>0\text{ e }y\neq 0\}.

Passo 3

Agora vamos revisar um conceito importante (passo-a-passo didático): continuidade por composição. Se g:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} e h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} são tais que g é contínua num ponto (x_{0},y_{0}) e h é contínua em g(x_{0},y_{0}), então a composição h\circ g é contínua em (x_{0},y_{0}). Aqui podemos tomar
g(x,y)=x y^{2}\quad\text{e}\quad h(t)=\ln t,
então f=h\circ g.

Passo 4

Verificações das hipóteses da composição:
  • A função g(x,y)=x y^{2} é um polinômio em x e y (produto e potência inteira), logo é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
  • A função h(t)=\ln t é contínua para todo t>0 (propriedade básica do logaritmo natural).
    Portanto, sempre que g(x_{0},y_{0})>0 (ou seja, sempre que (x_{0},y_{0})\in D), a composição f=h\circ g é contínua em (x_{0},y_{0}).

Passo 5

Conclusão lógica: todo ponto do domínio D é ponto de continuidade de f. Ou seja, f é contínua em cada (x,y) tal que x>0 e y\neq 0.
Comentário para fixar: pontos fora de D não entram na resposta porque ou f não está definida (quando xy^{2}\le 0) ou o argumento do \ln não é positivo. Não faz sentido falar em continuidade num ponto onde a função não está definida — portanto esses pontos não são pontos de continuidade de f.
Exemplo rápido para intuir: em (1,1) temos xy^{2}=1\cdot 1^{2}=1>0, então f(1,1)=\ln 1=0 e, por composição de funções contínuas, f é contínua em (1,1). Já em (0,1) a função não está definida porque xy^{2}=0, então não é ponto de continuidade.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x>0\text{ e }y\neq 0\}

Exercícios relacionados