Determine todos os pontos em que a função é contínua.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os pontos
em que a função
é contínua. Informações relevantes dadas pelo enunciado: a fórmula de
e que o logaritmo natural
só está definido para argumentos estritamente positivos. Não há figuras nem tabelas.
Passo 2
Primeiro vamos achar o domínio (conjunto de pontos onde
está definida). A função
exige que o argumento satisfaça
. Aqui o argumento é
. Portanto a condição para existir
é
Agora analisamos essa desigualdade: para todo
,
e
exatamente quando
. Se
então
, e a desigualdade
equivale a
. Se
então
para qualquer
, que não satisfaz
. Logo o domínio é
Passo 3
Agora vamos revisar um conceito importante (passo-a-passo didático): continuidade por composição. Se
e
são tais que
é contínua num ponto
e
é contínua em
, então a composição
é contínua em
. Aqui podemos tomar
então
.
Passo 4
Verificações das hipóteses da composição:
- A função
é um polinômio em e (produto e potência inteira), logo é contínua em todo . - A função
é contínua para todo (propriedade básica do logaritmo natural).
Portanto, sempre que(ou seja, sempre que ), a composição é contínua em .
Passo 5
Conclusão lógica: todo ponto do domínio
é ponto de continuidade de
. Ou seja,
é contínua em cada
tal que
e
.
Comentário para fixar: pontos fora de não entram na resposta porque ou
não está definida (quando
) ou o argumento do
não é positivo. Não faz sentido falar em continuidade num ponto onde a função não está definida — portanto esses pontos não são pontos de continuidade de
.
Exemplo rápido para intuir: em temos
, então
e, por composição de funções contínuas,
é contínua em
. Já em
a função não está definida porque
, então não é ponto de continuidade.
Comentário para fixar: pontos fora de
Exemplo rápido para intuir: em