Determine todos os pontos em que a função é contínua.
Passo 1
Enunciado: a função é
.
O que é pedido: determinar todos os pontos em que
é contínua.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão interna é . Observação importante (retirada do enunciado): a função
só é definida para entradas reais entre
e
inclusive; portanto
só faz sentido quando
.
O que é pedido: determinar todos os pontos
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão interna é
Passo 2
Entender onde a função está definida (domínio).
A função é a função arco-cosseno, ou seja, ela só fornece valores reais quando seu argumento
satisfaz
. Aplicando isso à nossa função composta, o domínio de
é o conjunto de pontos
tais que
A função
Esse é um faixão (uma faixa infinita) no plano R^2: todas as retas paralelas à reta
com soma entre
e
.
Passo 3
Mostrar que a função interior
é contínua em todo
.
Explicação didática: a função é linear (soma das projeções nas coordenadas). Para ver a continuidade no ponto
usamos uma ideia simples tipo
-
:
Explicação didática: a função
Dado qualquer
, basta escolher
. Se
então
e
, logo
. Assim
é contínua em todo ponto do plano. (Conclusão: a entrada
varia de forma contínua quando movemos
.)
Passo 4
Propriedade de continuidade da função
.
Explicação didática: a função é a inversa da função
restrita ao intervalo
. A função
é contínua e estritamente decrescente em
, e como
é compacto e
é bijetora desse intervalo para
, a inversa
é contínua em todo o seu domínio
(teorema: inversa de função contínua e bijetora em intervalo compacto é contínua). Portanto
é contínua em qualquer
com
, inclusive nos extremos
e
.
Explicação didática: a função
Passo 5
Regra da composição para continuidade.
Explicação didática: se é contínua num ponto
e
é contínua em
, então a composição
é contínua em
. Aqui
é contínua em todo ponto do plano (Passo 3) e
é contínua para todo
(Passo 4). Logo, sempre que
satisfizer
, temos que
é contínua em
.
Explicação didática: se
Passo 6
Conclusão sobre os pontos de continuidade.
A função só está definida quando
. Em todo ponto desse conjunto a composição é bem definida e contínua (pela regra da composição). Portanto os pontos de continuidade são exatamente os pontos do domínio, isto é, todos os
tais que
.
A função