Determine todos os pontos em que a função é contínua.
f(x, y)=\operatorname{arccos} (x+y)

Passo 1

Enunciado: a função é f(x,y)=\operatorname{arccos}(x+y).
O que é pedido: determinar todos os pontos (x,y) em que f é contínua.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão interna é x+y. Observação importante (retirada do enunciado): a função \operatorname{arccos} só é definida para entradas reais entre -1 e 1 inclusive; portanto f(x,y) só faz sentido quando x+y\in[-1,1].

Passo 2

Entender onde a função está definida (domínio).
A função \operatorname{arccos}\colon[-1,1]\to[0,\pi] é a função arco-cosseno, ou seja, ela só fornece valores reais quando seu argumento t satisfaz -1\le t\le 1. Aplicando isso à nossa função composta, o domínio de f é o conjunto de pontos (x,y) tais que
-1 \le x+y \le 1.
Esse é um faixão (uma faixa infinita) no plano R^2: todas as retas paralelas à reta x+y=\text{constante} com soma entre -1 e 1.

Passo 3

Mostrar que a função interior g(x,y)=x+y é contínua em todo \mathbb{R}^2.
Explicação didática: a função g é linear (soma das projeções nas coordenadas). Para ver a continuidade no ponto (x_0,y_0) usamos uma ideia simples tipo \varepsilon- \delta:
|g(x,y)-g(x_0,y_0)|=|(x+y)-(x_0+y_0)|\le |x-x_0|+|y-y_0|.
Dado qualquer \varepsilon>0, basta escolher \delta=\varepsilon/2. Se \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta então |x-x_0|<\delta e |y-y_0|<\delta, logo |g(x,y)-g(x_0,y_0)|<2\delta=\varepsilon. Assim g é contínua em todo ponto do plano. (Conclusão: a entrada x+y varia de forma contínua quando movemos (x,y).)

Passo 4

Propriedade de continuidade da função \operatorname{arccos}.
Explicação didática: a função \operatorname{arccos} é a inversa da função \cos restrita ao intervalo [0,\pi]. A função \cos é contínua e estritamente decrescente em [0,\pi], e como [0,\pi] é compacto e \cos é bijetora desse intervalo para [-1,1], a inversa \operatorname{arccos}\colon[-1,1]\to[0,\pi] é contínua em todo o seu domínio [-1,1] (teorema: inversa de função contínua e bijetora em intervalo compacto é contínua). Portanto \operatorname{arccos} é contínua em qualquer t com -1\le t\le 1, inclusive nos extremos t=-1 e t=1.

Passo 5

Regra da composição para continuidade.
Explicação didática: se g é contínua num ponto p e h é contínua em g(p), então a composição h\circ g é contínua em p. Aqui g(x,y)=x+y é contínua em todo ponto do plano (Passo 3) e h(t)=\operatorname{arccos}(t) é contínua para todo t\in[-1,1] (Passo 4). Logo, sempre que (x,y) satisfizer x+y\in[-1,1], temos que f(x,y)=\operatorname{arccos}(g(x,y)) é contínua em (x,y).

Passo 6

Conclusão sobre os pontos de continuidade.
A função f só está definida quando x+y\in[-1,1]. Em todo ponto desse conjunto a composição é bem definida e contínua (pela regra da composição). Portanto os pontos de continuidade são exatamente os pontos do domínio, isto é, todos os (x,y) tais que -1\le x+y\le 1.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -1 \le x+y \le 1\}

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