Determine uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} cujo núcleo seja gerado por \{(1,0,1)\}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: determinar uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} cujo núcleo (ou seja, o conjunto dos vetores que vão para o vetor zero) seja gerado por \{(1,0,1)\}.
  • Informação dada: o núcleo deve ser \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}\{(1,0,1)\}. Isso significa que todo vetor do núcleo tem a forma (t,0,t) para algum t\in\mathbb{R}, e que não há outros vetores independentes no núcleo além desses.

Passo 2

Ideia geral e ferramentas que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Qualquer transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 pode ser representada por uma matriz A de tamanho 2\times3 tal que
T(x)=A x
para todo x\in\mathbb{R}^3.
  • O núcleo de T é o mesmo que o núcleo da matriz A:
\operatorname{Ker}(T)=\{x\in\mathbb{R}^3: A x=0\}.
  • Queremos que A(1,0,1)^{T}=0. Em termos das linhas de A, isso significa que cada linha de A deve ser ortogonal ao vetor (1,0,1) (porque a equação linha·coluna = 0 é o produto escalar).
  • Aplicando o teorema da dimensão (rank-nullity): \dim(\operatorname{Ker}(T))=1 então \operatorname{rank}(A)=3-1=2. Logo a matriz A deve ter posto (rank) igual a 2, isto é, suas duas linhas (ou duas colunas adequadas) devem ser linearmente independentes.

Passo 3

Como construir A explicitamente — encontrar linhas ortogonais a (1,0,1):
  • Seja uma linha qualquer r=(a,b,c). A condição r\cdot(1,0,1)=0
a+c=0 \quad\Rightarrow\quad c=-a.
  • Portanto quaisquer vetores da forma (a,b,-a) são ortogonais a (1,0,1).
  • Precisamos de duas linhas independentes dessa forma. Duas escolhas simples e independentes são
r_1=(1,0,-1),\qquad r_2=(0,1,0).
Esses dois vetores satisfazem r_i\cdot(1,0,1)=0 e são linearmente independentes (não há \lambda tal que r_2=\lambda r_1).

Passo 4

Formar a matriz A com as linhas escolhidas e escrever T:
  • Colocando r_1 como primeira linha e r_2 como segunda linha obtemos a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
  • Definimos T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\[4pt]0 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
  • Calculando o produto, obtemos a fórmula explícita e fácil de memorizar:
T(x,y,z)=(x-z,\; y).]

Passo 5

Verificação de que [\operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}{(1,0,1)}):
  • Resolver T(x,y,z)=(0,0) significa resolver o sistema
\begin{cases} x-z=0,\\[4pt] y=0. \end{cases}
  • Da primeira equação vem x=z\]. Juntando com \(y=0 obtemos todos os vetores (t,0,t) com t\in\mathbb{R}. Isso é exatamente \operatorname{span}\{(1,0,1)\}.
  • Além disso, como já argumentamos, as duas linhas de A são independentes, logo \operatorname{rank}(A)=2 e pela fórmula \dim(\operatorname{Ker}(A))=3-2=1. Isso confirma que o núcleo tem dimensão 1 e é aquele que encontramos.]

Passo 6

Comentário final e incentivo (rápido):
  • Pronto — construímos uma transformação linear simples e mostramos passo a passo por que o núcleo é o desejado. Dá para fazer outras escolhas (qualquer par de linhas independentes ortogonais a (1,0,1) funciona), mas a que escolhemos é a mais direta.
  • Você conseguiu! Esse tipo de construção (escolher linhas ortogonais ao vetor do núcleo) é método padrão e rápido na prova.

Resposta

T(x,y,z)=(x-z,\;y)
\text{Matriz de }T= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}]

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