Determine uma transformação linear
cujo núcleo seja gerado por
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: determinar uma transformação linear
cujo núcleo (ou seja, o conjunto dos vetores que vão para o vetor zero) seja gerado por . - Informação dada: o núcleo deve ser
. Isso significa que todo vetor do núcleo tem a forma para algum , e que não há outros vetores independentes no núcleo além desses.
Passo 2
Ideia geral e ferramentas que vamos usar (explicadas devagarinho):
- Qualquer transformação linear
pode ser representada por uma matriz de tamanho tal que
para todo
.
- O núcleo de
é o mesmo que o núcleo da matriz :
- Queremos que
. Em termos das linhas de , isso significa que cada linha de deve ser ortogonal ao vetor (porque a equação linha·coluna = 0 é o produto escalar). - Aplicando o teorema da dimensão (rank-nullity):
então . Logo a matriz deve ter posto (rank) igual a , isto é, suas duas linhas (ou duas colunas adequadas) devem ser linearmente independentes.
Passo 3
Como construir
explicitamente — encontrar linhas ortogonais a
:
- Seja uma linha qualquer
. A condição dá
- Portanto quaisquer vetores da forma
são ortogonais a . - Precisamos de duas linhas independentes dessa forma. Duas escolhas simples e independentes são
Esses dois vetores satisfazem
e são linearmente independentes (não há
tal que
).
Passo 4
Formar a matriz
com as linhas escolhidas e escrever
:
- Colocando
como primeira linha e como segunda linha obtemos a matriz
- Definimos
por
- Calculando o produto, obtemos a fórmula explícita e fácil de memorizar:
Passo 5
Verificação de que [\operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}{(1,0,1)}):
- Resolver
significa resolver o sistema
- Da primeira equação vem
obtemos todos os vetores
com . Isso é exatamente . - Além disso, como já argumentamos, as duas linhas de
são independentes, logo e pela fórmula . Isso confirma que o núcleo tem dimensão e é aquele que encontramos.]
Passo 6
Comentário final e incentivo (rápido):
- Pronto — construímos uma transformação linear simples e mostramos passo a passo por que o núcleo é o desejado. Dá para fazer outras escolhas (qualquer par de linhas independentes ortogonais a
funciona), mas a que escolhemos é a mais direta. - Você conseguiu! Esse tipo de construção (escolher linhas ortogonais ao vetor do núcleo) é método padrão e rápido na prova.