Determine o valor de c, tal que a função f(x, y)=c x y para 0< x<3 e 0<y<3 satisfaça as propriedades de uma função densidade de probabilidade conjunta. Determine o seguinte:
a. P(X<2, Y<3)
b. P(X<2,5)
c. P(1<Y<2,5)
d. P(X>1,8,1<Y<2,5)
e. E(X)
f. P(X<0, Y<4)
g. Distribuição de probabilidades marginais de X.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função de densidade conjunta é dada por f(x,y)=c\,x\,y para 0<x<3 e 0<y<3. Fora desse retângulo a densidade vale zero (isso é implícito em “para 0<x<3 e 0<y<3”).
  • O enunciado pede:
    a. P(X<2,\,Y<3)
    b. P(X<2,5)
    c. P(1<Y<2,5)
    d. P(X>1,8,\;1<Y<2,5)
    e. E(X)
    f. P(X<0,\;Y<4)
    g. a distribuição de probabilidades marginal de X.
Observações importantes (retiradas do enunciado):
  • A constante c não foi dada; para que f seja densidade conjunta precisa satisfazer a condição de normalização \iint f(x,y)\,dx\,dy=1 no domínio.
  • Para variáveis contínuas, probabilidades são integradas sobre regiões apropriadas do plano (x,y).
  • Valores com vírgula no enunciado são decimais: por exemplo 2,5 significa 2{,}5, 1,8 significa 1{,}8.

Passo 2

Encontrar c pela condição de normalização.
Conceito rápido: para uma função ser densidade conjunta deve valer
\iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy = 1.
Aqui f(x,y)=c\,x\,y apenas no retângulo 0<x<3,\;0<y<3. Então calculamos
\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{3} c\,x\,y \,dy\,dx = 1.
Calcule a integral interior (em y):
\int_{y=0}^{3} y\,dy = \left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{3} = \tfrac{1}{2}\cdot 3^{2} = \tfrac{9}{2}.
Então a integral total fica
c \int_{x=0}^{3} x\cdot\frac{9}{2}\,dx = c\cdot\frac{9}{2}\int_{0}^{3} x\,dx.
Calcule \int_{0}^{3} x\,dx = \left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{3} = \tfrac{9}{2}.
Portanto
c\cdot\frac{9}{2}\cdot\frac{9}{2} = c\cdot\frac{81}{4}=1.
Logo
c=\frac{4}{81}.
Breve comentário didático: achar c é sempre o primeiro passo com densidades paramétricas — garantir que a massa total seja 1.

Passo 3

Como calcular probabilidades de regiões: para uma região A do plano,
P\big((X,Y)\in A\big)=\iint_{A} f(x,y)\,dx\,dy.
Aqui usaremos integrais iteradas com os limites adequados ao enunciado. Lembre-se que, por ser contínua, os extremos inclusos/exclusos (por exemplo <3 ou \le 3) não alteram o valor.
a) Calcular P(X<2,\,Y<3).
A região é 0<x<2 e 0<y<3 (porque densidade existe só para 0<x<3 e 0<y<3). Montamos a integral:
P(X<2,\,Y<3)=\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{3} c\,x\,y\,dy\,dx.
Já sabemos c=\tfrac{4}{81}. Calcule a integral interior \int_{0}^{3} y\,dy=\tfrac{9}{2}. Então
\int_{0}^{2} c\,x\cdot\tfrac{9}{2}\,dx = c\cdot\tfrac{9}{2}\int_{0}^{2} x\,dx.
Agora \int_{0}^{2} x\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot 2^{2} = 2. Assim
P = c\cdot\tfrac{9}{2}\cdot 2 = c\cdot 9 = \tfrac{4}{81}\cdot 9 = \tfrac{36}{81} = \tfrac{4}{9}.

Passo 4

b) Calcular P(X<2,5), que significa P(X<2{,}5) independente de Y.
Para isso integramos x de 0 a 2{,}5 e y de 0 a 3:
P(X<2{,}5)=\int_{x=0}^{2{,}5}\int_{y=0}^{3} c\,x\,y\,dy\,dx.
Novamente \int_{0}^{3} y\,dy=\tfrac{9}{2}. Então
P = c\cdot\tfrac{9}{2}\int_{0}^{2{,}5} x\,dx.
Calcule \int_{0}^{2{,}5} x\,dx = \tfrac{1}{2}(2{,}5)^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{25}{4} = \tfrac{25}{8}.
Logo
P = \frac{4}{81}\cdot\frac{9}{2}\cdot\frac{25}{8} = \frac{4\cdot 9\cdot 25}{81\cdot 16} = \frac{900}{1296} = \frac{25}{36}.

Passo 5

c) Calcular P(1<Y<2,5), independente de X.
Aqui integramos y de 1 a 2{,}5 e x de 0 a 3:
P(1<Y<2{,}5)=\int_{x=0}^{3}\int_{y=1}^{2{,}5} c\,x\,y\,dy\,dx.
É conveniente separar: \int_{0}^{3} x\,dx = \tfrac{9}{2}. Para y:
\int_{1}^{2{,}5} y\,dy = \left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{1}^{2{,}5} = \tfrac{1}{2}\big((2{,}5)^{2}-1^{2}\big) = \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{25}{4}-1\right)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{21}{4}=\tfrac{21}{8}.
Então
P = c\cdot\frac{9}{2}\cdot\frac{21}{8} = \frac{4}{81}\cdot\frac{189}{16} = \frac{756}{1296} = \frac{7}{12}.

Passo 6

d) Calcular P(X>1,8,\;1<Y<2,5) — ou seja X>1{,}8 e 1<Y<2{,}5.
A região é x de 1{,}8 a 3 e y de 1 a 2{,}5. Montamos a integral:
P=\int_{x=1{,}8}^{3}\int_{y=1}^{2{,}5} c\,x\,y\,dy\,dx.
Calcule \int_{y=1}^{2{,}5} y\,dy = \tfrac{21}{8} (do passo anterior). Calcule \int_{1{,}8}^{3} x\,dx = \tfrac{1}{2}(3^{2}-(1{,}8)^{2}).
Note que 1{,}8^{2}=3{,}24, então
\int_{1{,}8}^{3} x\,dx = \tfrac{1}{2}(9-3{,}24)=\tfrac{1}{2}\cdot 5{,}76 = 2{,}88 = \tfrac{72}{25}.
(Em forma racional 1{,}8=\tfrac{9}{5}, daí o mesmo resultado.)
Portanto
P = c\cdot \frac{72}{25}\cdot \frac{21}{8} = \frac{4}{81}\cdot\frac{72\cdot 21}{25\cdot 8} = \frac{4}{81}\cdot\frac{189}{25} = \frac{756}{2025} = \frac{28}{75}.

Passo 7

e) Calcular a esperança E(X).
Fórmula: para uma densidade conjunta contínua
E(X)=\iint x\,f(x,y)\,dx\,dy.
Aqui x\,f(x,y)=x\cdot c\,x\,y = c\,x^{2}y. Então
E(X)=\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{3} c\,x^{2}y\,dy\,dx.
Calcule \int_{y=0}^{3} y\,dy = \tfrac{9}{2} como antes, e \int_{0}^{3} x^{2}\,dx = \left[\tfrac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{3} = \tfrac{27}{3}=9.
Logo
E(X)= c\cdot \frac{9}{2}\cdot 9 = c\cdot \frac{81}{2}.
Substituindo c=\tfrac{4}{81},
E(X)=\frac{4}{81}\cdot\frac{81}{2} = \frac{4}{2} = 2.
Comentário: é comum calcular E(X) tanto pela integral dupla como por primeiro obter a marginal f_X(x) e depois usar E(X)=\int x f_X(x)\,dx; ambos dão o mesmo resultado.

Passo 8

f) Calcular P(X<0,\;Y<4).
Raciocínio sobre suporte: a densidade f(x,y) é zero fora do retângulo 0<x<3,\;0<y<3. A condição X<0 pede probabilidade de x ser menor que zero; como não há massa em x<0, essa probabilidade é zero. Mesmo que o evento Y<4 inclua os pontos do suporte, a interseção com X<0 é vazia. Portanto
P(X<0,\;Y<4)=0.

Passo 9

g) Distribuição marginal de X.
Definição: a densidade marginal de X é
f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy.
Como f(x,y)=c\,x\,y só para 0<y<3, temos para 0<x<3
f_{X}(x)=\int_{y=0}^{3} c\,x\,y\,dy = c\,x\cdot\frac{9}{2} = \frac{9c}{2}\,x.
Substituindo c=\tfrac{4}{81},
f_{X}(x)=\frac{9}{2}\cdot\frac{4}{81}\,x = \frac{36}{162}\,x = \frac{2}{9}\,x,\quad\text{para }0<x<3.
Fora de 0<x<3, f_{X}(x)=0.
Verificação rápida (didática): integrar f_{X} de 0 a 3:
\int_{0}^{3} \frac{2}{9}x\,dx = \frac{2}{9}\cdot\frac{9}{2}=1,
confirmando que é uma densidade válida.

Resposta

a. \tfrac{4}{9}
b. \tfrac{25}{36}
c. \tfrac{7}{12}
d. \tfrac{28}{75}
e. 2
f. 0
g. f_{X}(x)=\dfrac{2}{9}\,x para 0<x<3 e f_{X}(x)=0 caso contrário.

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