Determine o valor de
, tal que a função
para
e
satisfaça as propriedades de uma função densidade de probabilidade conjunta. Determine o seguinte:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g. Distribuição de probabilidades marginais de
.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g. Distribuição de probabilidades marginais de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A função de densidade conjunta é dada por
para e . Fora desse retângulo a densidade vale zero (isso é implícito em “para e ”). - O enunciado pede:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g. a distribuição de probabilidades marginal de.
Observações importantes (retiradas do enunciado):
- A constante
não foi dada; para que seja densidade conjunta precisa satisfazer a condição de normalização no domínio. - Para variáveis contínuas, probabilidades são integradas sobre regiões apropriadas do plano
. - Valores com vírgula no enunciado são decimais: por exemplo
significa , significa .
Passo 2
Encontrar
pela condição de normalização.
Conceito rápido: para uma função ser densidade conjunta deve valer
Aqui
apenas no retângulo
. Então calculamos
Calcule a integral interior (em
):
Então a integral total fica
Calcule
.
Portanto
Portanto
Logo
Breve comentário didático: achar
é sempre o primeiro passo com densidades paramétricas — garantir que a massa total seja
.
Passo 3
Como calcular probabilidades de regiões: para uma região
do plano,
Aqui usaremos integrais iteradas com os limites adequados ao enunciado. Lembre-se que, por ser contínua, os extremos inclusos/exclusos (por exemplo
ou
) não alteram o valor.
a) Calcular
.
A região é
e
(porque densidade existe só para
e
). Montamos a integral:
Já sabemos
. Calcule a integral interior
. Então
Agora
. Assim
Passo 4
b) Calcular
, que significa
independente de
.
Para isso integramos
de
a
e
de
a
:
Novamente
. Então
Calcule
Logo
Logo
Passo 5
c) Calcular
, independente de
.
Aqui integramos
de
a
e
de
a
:
É conveniente separar:
. Para
:
Então
Passo 6
d) Calcular
— ou seja
e
.
A região é
de
a
e
de
a
. Montamos a integral:
Calcule
(do passo anterior). Calcule
.
Note que , então
Note que
(Em forma racional
, daí o mesmo resultado.)
Portanto
Portanto
Passo 7
e) Calcular a esperança
.
Fórmula: para uma densidade conjunta contínua
Aqui
. Então
Calcule
como antes, e
.
Logo
Logo
Substituindo
,
Comentário: é comum calcular
tanto pela integral dupla como por primeiro obter a marginal
e depois usar
; ambos dão o mesmo resultado.
Passo 8
f) Calcular
.
Raciocínio sobre suporte: a densidade
é zero fora do retângulo
. A condição
pede probabilidade de
ser menor que zero; como não há massa em
, essa probabilidade é zero. Mesmo que o evento
inclua os pontos do suporte, a interseção com
é vazia. Portanto
Passo 9
g) Distribuição marginal de
.
Definição: a densidade marginal de
é
Como
só para
, temos para
Substituindo
,
Fora de
,
.
Verificação rápida (didática): integrar
de
a
:
confirmando que é uma densidade válida.
Resposta
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
para
e
caso contrário.