Determine o valor do coeficiente angular da reta tangente às funções abaixo nos pontos indicados entre parênteses:
y=3 x^{2}-2 x (x=2)

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar o valor do coeficiente angular da reta tangente à função nos pontos indicados”. As informações fornecidas são:
  • A função é y=3x^{2}-2x.
  • O ponto onde se quer a tangente é dado por x=2.
O que precisa ser encontrado é o coeficiente angular (ou seja, a inclinação, tradicionalmente chamada de m) da reta tangente à curva no ponto cuja abscissa é x=2.

Passo 2

Conceito-chave (o que é o coeficiente angular da tangente):
  • A inclinação da reta tangente à curva y=f(x) em um ponto x=a é exatamente a derivada de f no ponto a.
  • A derivada de f em a é definida por
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Isso significa: pegar o quociente de variação média (a razão entre variação de y e variação de x) em torno de a e ver o que acontece quando a variação em x tende a zero — esse limite é a inclinação instantânea, a inclinação da tangente.

Passo 3

Vamos aplicar a definição para achar a derivada geral f'(x) da função f(x)=3x^{2}-2x. Usando f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}, calculamos o numerador:
f(x+h)=3(x+h)^{2}-2(x+h).
Expandindo:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2},
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f(x+h)=3\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)-2x-2h.
Subtraindo f(x)=3x^{2}-2x:
f(x+h)-f(x)=\bigl[3(x^{2}+2xh+h^{2})-2x-2h\bigr]-\bigl[3x^{2}-2x\bigr].
Simplificando termos semelhantes:
f(x+h)-f(x)=3x^{2}+6xh+3h^{2}-2x-2h-3x^{2}+2x=6xh+3h^{2}-2h.
Agora formamos o quociente e simplificamos por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{6xh+3h^{2}-2h}{h}=6x+3h-2.
Fazendo o limite h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to0}(6x+3h-2)=6x-2.
Portanto a derivada (a função que dá a inclinação em qualquer x) é
f'(x)=6x-2.

Passo 4

Agora avalio a derivada no ponto x=2 para obter o coeficiente angular da tangente nesse ponto:
f'(2)=6\cdot 2-2=12-2=10.
Interpretação rápida: isso indica que, em x=2, a reta tangente sobe 10 unidades em y para cada 1 unidade que avança em x; é uma inclinação positiva bem acentuada.

Passo 5

Observação prática (atalho para usar na prova):
  • Em provas normalmente usa-se a regra do poder e a linearidade para derivar polinômios mais rápido. Regras usadas:
    • Regra do coeficiente: \dfrac{d}{dx}[c\cdot g(x)]=c\cdot g'(x) para constante c.
    • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}[x^{n}]=n x^{n-1}.
      Aplicando direto em y=3x^{2}-2x:
\frac{dy}{dx}=3\cdot\frac{d}{dx}[x^{2}]-2\cdot\frac{d}{dx}[x]=3\cdot(2x)-2\cdot(1)=6x-2,
e então f'(2)=6\cdot2-2=10, como encontrado antes. Esse método é mais rápido na prova; o raciocínio via limite serve para entender de onde vem a regra.

Resposta

10

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