Determine o valor do coeficiente angular da reta tangente às funções abaixo nos pontos indicados entre parênteses:
y=3 x^{2}-2 x (x=2)
y=3 x^{2}-2 x (x=2)
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar o valor do coeficiente angular da reta tangente à função nos pontos indicados”. As informações fornecidas são:
- A função é
. - O ponto onde se quer a tangente é dado por
.
O que precisa ser encontrado é o coeficiente angular (ou seja, a inclinação, tradicionalmente chamada de
) da reta tangente à curva no ponto cuja abscissa é
.
Passo 2
Conceito-chave (o que é o coeficiente angular da tangente):
- A inclinação da reta tangente à curva
em um ponto é exatamente a derivada de no ponto . - A derivada de
em é definida por
Isso significa: pegar o quociente de variação média (a razão entre variação de
e variação de
) em torno de
e ver o que acontece quando a variação em
tende a zero — esse limite é a inclinação instantânea, a inclinação da tangente.
Passo 3
Vamos aplicar a definição para achar a derivada geral
da função
. Usando
, calculamos o numerador:
Expandindo:
logo
Subtraindo
:
Simplificando termos semelhantes:
Agora formamos o quociente e simplificamos por
:
Fazendo o limite
:
Portanto a derivada (a função que dá a inclinação em qualquer
) é
Passo 4
Agora avalio a derivada no ponto
para obter o coeficiente angular da tangente nesse ponto:
Interpretação rápida: isso indica que, em
, a reta tangente sobe
unidades em
para cada
unidade que avança em
; é uma inclinação positiva bem acentuada.
Passo 5
Observação prática (atalho para usar na prova):
- Em provas normalmente usa-se a regra do poder e a linearidade para derivar polinômios mais rápido. Regras usadas:
- Regra do coeficiente:
para constante . - Regra do poder:
.
Aplicando direto em:
- Regra do coeficiente:
e então
, como encontrado antes. Esse método é mais rápido na prova; o raciocínio via limite serve para entender de onde vem a regra.