Determine os valores de a para os quais o sistema linear abaixo nas incógnitas x ; y e z: (a) Tenha solução única; (b) Não tenha solução; (c) Tenha infinitas soluções. (Indique claramente todas as operações elementares efetuadas nas linhas da matriz aumentada do sistema)
\left\{\begin{array}{c} x+4 y+a z=6 \\\\ 2 x-y+2 a z=3 \\\ a x+3 y+z=5 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear nas incógnitas x,y,z:
\left\{\begin{array}{r} x+4y+a z=6\\[4pt] 2x-y+2a z=3\\[4pt] a x+3y+z=5 \end{array}\right.
O que nos pedem:
(a) determinar os valores de a para os quais o sistema tem solução única;
(b) determinar os valores de a para os quais o sistema não tem solução;
(c) determinar os valores de a para os quais o sistema tem infinitas soluções.
Informações relevantes dadas: os coeficientes dependem do parâmetro a como aparece nas três equações acima e o vetor dos termos independentes é (6,3,5)^T. A resolução pedida exige que se mostrem claramente as operações elementares efetuadas nas linhas da matriz aumentada do sistema.]

Passo 2

Vou montar a matriz aumentada do sistema (colocando a coluna dos termos independentes à direita). A matriz aumentada inicial é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & a & 6\\[4pt] 2 & -1 & 2a & 3\\[4pt] a & 3 & 1 & 5 \end{array}\right].
Objetivo: usar eliminação de Gauss (operações elementares por linhas) para triangularizar e analisar o caso a\neq\pm1 e os casos a=\pm1. Vou listar cada operação e o resultado.
Primeira etapa: zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna. Faço:
  • L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1
  • L_3 \leftarrow L_3 - a L_1.
Calculemos linha a linha.
Para L_2:
\begin{array}{l} 2 - 2\cdot 1 = 0,\\[4pt] -1 - 2\cdot 4 = -1 - 8 = -9,\\[4pt] 2a - 2\cdot a = 0,\\[4pt] 3 - 2\cdot 6 = 3 - 12 = -9. \end{array}
Logo L_2 vira [0\\\ -9\\\ 0\\ |\\\ -9].
Para L_3:
\begin{array}{l} a - a\cdot 1 = 0,\\[4pt] 3 - a\cdot 4 = 3 - 4a,\\[4pt] 1 - a\cdot a = 1 - a^2,\\[4pt] 5 - a\cdot 6 = 5 - 6a. \end{array}
Logo L_3 vira [0\\\ 3-4a\\\ 1-a^2\\ |\\\ 5-6a].
A matriz após essas operações é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & a & 6\\[4pt] 0 & -9 & 0 & -9\\[4pt] 0 & 3-4a & 1-a^2 & 5-6a \end{array}\right].]

Passo 3

Agora simplifico L_2 dividindo por -9 para obter o pivô 1 na segunda coluna:
  • L_2 \leftarrow \dfrac{1}{-9}L_2, obtendo L_2=[0\\\ 1\\\ 0\\ |\\\ 1].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & a & 6\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 3-4a & 1-a^2 & 5-6a \end{array}\right].
Em seguida elimino a entrada acima e abaixo do pivô da segunda coluna:
  • L_1 \leftarrow L_1 - 4L_2,
  • L_3 \leftarrow L_3 - (3-4a)\,L_2.
Calculemos:
Para L_1:
\begin{array}{l} 1 - 4\cdot 0 = 1,\\[4pt] 4 - 4\cdot 1 = 0,\\[4pt] a - 4\cdot 0 = a,\\[4pt] 6 - 4\cdot 1 = 2. \end{array}
Logo L_1=[1\\\ 0\\ a\\ |\\\ 2].
Para L_3:
\begin{array}{l} 0 - (3-4a)\cdot 0 = 0,\\[4pt] (3-4a) - (3-4a)\cdot 1 = 0,\\[4pt] (1-a^2) - (3-4a)\cdot 0 = 1-a^2,\\[4pt] (5-6a) - (3-4a)\cdot 1 = 5-6a -3 +4a = 2 - 2a. \end{array}
Logo L_3=[0\\\ 0\\\ 1-a^2\\ |\\\ 2-2a].
Agora a matriz está em forma triangular:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & a & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1-a^2 & 2-2a \end{array}\right].
Observe que a última equação é
(1-a^2)\,z = 2-2a.]

Passo 4

Interpretação dos resultados (critérios e conceito chave):
  • Quando o coeficiente 1-a^2 da incógnita z for diferente de zero, podemos resolver para z e então para x,y — sistema tem solução única.
  • Quando 1-a^2=0 (ou seja a=\pm1), a equação final fica com coeficiente zero e devemos olhar o termo independente para decidir se é 0=0 (consistente, gera infinitas soluções se houver menos pivôs que variáveis) ou 0=c com c\neq0 (inconsistente, sem solução).
Também é útil a relação com determinante: o determinante da matriz dos coeficientes vale
\det(A)=9(a^2-1)=9(a-1)(a+1),
então \det(A)\neq0 exatamente quando a\neq\pm1, que coincide com o caso de solução única (matriz invertível). Isso confirma o raciocínio da eliminação.

Passo 5

Analisemos os três casos explicitamente.
Caso 1: a\neq\pm1.
Aqui 1-a^2\neq0. Da última linha obtemos
z=\dfrac{2-2a}{1-a^2}.
Podemos simplificar: 2-2a=2(1-a) e 1-a^2=(1-a)(1+a), então (para a\neq1)
z=\dfrac{2}{1+a}.
Em seguida y=1 (da segunda linha) e x vem da primeira linha x+a z=2\Rightarrow x=2-a z. Portanto existe uma única solução quando a\neq\pm1.
Caso 2: a=1.
Então 1-a^2=0 e 2-2a=0, a última linha fica 0=0 (linha nula). A matriz reduzida é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Temos dois pivôs (colunas x e y), mas três incógnitas: z é variável livre. Logo sistema consistente com infinitas soluções. Parametrização: seja z=t\in\mathbb{R}, então y=1 e x=2-t.
Caso 3: a=-1.
Então 1-a^2=0 e 2-2a = 2-2(-1)=4. A última linha dá 0\cdot z = 4, ou seja 0=4, contradição. Portanto o sistema é inconsistente e não tem solução.]

Passo 6

Resumo lógico (conexão com teoria de posto/rank):
  • Se a\neq\pm1 então \operatorname{rank}(A)=3= número de incógnitas \Rightarrow solução única.
  • Se a=1 então \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=2<3\Rightarrow consistente com infinitas soluções.
  • Se a=-1 então \operatorname{rank}(A)=2<\operatorname{rank}([A|b])=3\Rightarrow sistema incompatível (sem solução).

Resposta

(a) Solução única: a\neq \pm 1.\n
(b) Não tem solução: a=-1.\n
\text{(c)} Infinitas soluções: a=1.

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