9.2.8 Determine os valores de x para que exista logaritmo:
b) \log _{3}(4 x-1)

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de x para que exista o logaritmo \log_{3}(4x-1).
Informações dadas:
  • A expressão dentro do logaritmo (o argumento) é 4x-1.
  • A base do logaritmo é 3.
O que devemos achar: todos os valores de x que tornam o logaritmo bem definido (isto é, que fazem a expressão existir).

Passo 2

Regra fundamental (condição de existência do logaritmo): um logaritmo \log_{a}(y) existe somente se o argumento y for estritamente positivo:
y>0.
Além disso, a base a deve satisfazer a>0 e a\neq1. No nosso caso, a base é 3, que satisfaz 3>0 e 3\neq1, portanto não há problema com a base. Resta impor a condição sobre o argumento 4x-1.

Passo 3

Aplicando a condição ao argumento 4x-1, obtemos a desigualdade
4x-1>0.
Isto significa que apenas valores de x que tornam 4x-1 positivo são permitidos.

Passo 4

Resolver a desigualdade passo a passo:
  1. Somar 1 em ambos os lados da desigualdade:
4x-1+1>0+1 \quad\Rightarrow\quad 4x>1.
  1. Dividir ambos os lados por 4. Como 4 é positivo, a direção da desigualdade não muda:
x>\frac{1}{4}.
Observação didática: se dividíssemos por um número negativo, a desigualdade invertia de sentido; aqui isso não ocorre porque dividimos por 4>0.

Passo 5

Verificação rápida (intuitiva): para x=\tfrac{1}{2} tem-se 4x-1=2-1=1>0 (funciona). Para x=0 tem-se 4x-1=-1<0 (não funciona). Isso confirma que apenas valores maiores que \tfrac{1}{4} são válidos.

Resposta

x>\dfrac{1}{4}

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