9.2.8 Determine os valores de
para que exista logaritmo:
b)
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores de
para que exista o logaritmo
.
Informações dadas:
- A expressão dentro do logaritmo (o argumento) é
. - A base do logaritmo é
.
O que devemos achar: todos os valores de
que tornam o logaritmo bem definido (isto é, que fazem a expressão existir).
Passo 2
Regra fundamental (condição de existência do logaritmo): um logaritmo
existe somente se o argumento
for estritamente positivo:
Além disso, a base
deve satisfazer
e
. No nosso caso, a base é
, que satisfaz
e
, portanto não há problema com a base. Resta impor a condição sobre o argumento
.
Passo 3
Aplicando a condição ao argumento
, obtemos a desigualdade
Isto significa que apenas valores de
que tornam
positivo são permitidos.
Passo 4
Resolver a desigualdade passo a passo:
- Somar
em ambos os lados da desigualdade:
- Dividir ambos os lados por
. Como é positivo, a direção da desigualdade não muda:
Observação didática: se dividíssemos por um número negativo, a desigualdade invertia de sentido; aqui isso não ocorre porque dividimos por
.
Passo 5
Verificação rápida (intuitiva): para
tem-se
(funciona). Para
tem-se
(não funciona). Isso confirma que apenas valores maiores que
são válidos.