9.2.8 Determine os valores de x para que exista logaritmo:
c) \log _{(2 x-1)} 5

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de x para os quais a expressão \log_{(2x-1)} 5 existe.
Informações dadas:
  • A expressão é \log_{(2x-1)} 5.
  • O número dentro do logaritmo (argumento) é 5.
  • A base do logaritmo é 2x-1.

Passo 2

Relembre as condições para que um logaritmo \log_{b} a exista (seja bem definido):
  1. O argumento a deve ser positivo:
a>0.
  1. A base b deve ser positiva e diferente de 1:
b>0\quad\text{e}\quad b\neq 1.
Aqui a é o número cujo logaritmo se toma (no caso a=5) e b é a base do logaritmo (no caso b=2x-1). Essas condições vêm da definição do logaritmo: só faz sentido falar em logaritmo de um número positivo, e uma base negativa ou igual a 1 não gera uma função logarítmica válida.

Passo 3

Verificar a condição do argumento para o nosso caso: o argumento é 5.
Como 5>0, a condição do argumento está satisfeita automaticamente:
5>0.
Portanto não impõe restrição sobre x.

Passo 4

Aplicar a condição b>0 à nossa base b=2x-1. Temos a desigualdade
2x-1>0.
Resolvendo essa desigualdade:
2x>1\quad\Rightarrow\quad x>\tfrac{1}{2}.
Explicação do passo algébrico: somou-se 1 em ambos os lados e dividiu-se por 2 (divisão por número positivo mantém o sentido da desigualdade).

Passo 5

Aplicar a condição b\neq 1 à base 2x-1. Escrever a igualdade que devemos evitar:
2x-1\neq 1.
Resolver a equação associada para ver qual valor excluir:
2x-1=1\quad\Rightarrow\quad 2x=2\quad\Rightarrow\quad x=1.
Portanto é necessário excluir x=1 da solução.

Passo 6

Combinar as restrições obtidas:
  • De 2x-1>0 veio x>\tfrac{1}{2}.
  • De 2x-1\neq 1 veio x\neq 1.
    E o argumento 5 não impôs restrição extra. Logo os valores de x que tornam \log_{(2x-1)}5 bem definido são todos os x tais que
x>\tfrac{1}{2}\quad\text{e}\quad x\neq 1.

Passo 7

Interpretação prática com exemplos rápidos (para fixar):
  • Se x=0{,}6, então 2x-1=0{,}2 (base positiva e diferente de 1), logo \log_{0{,}2}5 existe.
  • Se x=1, então 2x-1=1 (base igual a 1), logo \log_{1}5 não existe — por isso excluímos x=1.
  • Se x=0{,}4, então 2x-1=-0{,}2 (base negativa), logo \log_{-0{,}2}5 não existe.

Resposta

x\in\left(\tfrac{1}{2},1\right)\cup(1,\infty)

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