9.2.8 Determine os valores de
para que exista logaritmo:
c)
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores de
para os quais a expressão
existe.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão é
. - O número dentro do logaritmo (argumento) é
. - A base do logaritmo é
.
Passo 2
Relembre as condições para que um logaritmo
exista (seja bem definido):
- O argumento
deve ser positivo:
- A base
deve ser positiva e diferente de :
Aqui
é o número cujo logaritmo se toma (no caso
) e
é a base do logaritmo (no caso
). Essas condições vêm da definição do logaritmo: só faz sentido falar em logaritmo de um número positivo, e uma base negativa ou igual a
não gera uma função logarítmica válida.
Passo 3
Verificar a condição do argumento para o nosso caso: o argumento é
.
Como , a condição do argumento está satisfeita automaticamente:
Como
Portanto não impõe restrição sobre
.
Passo 4
Aplicar a condição
à nossa base
. Temos a desigualdade
Resolvendo essa desigualdade:
Explicação do passo algébrico: somou-se
em ambos os lados e dividiu-se por
(divisão por número positivo mantém o sentido da desigualdade).
Passo 5
Aplicar a condição
à base
. Escrever a igualdade que devemos evitar:
Resolver a equação associada para ver qual valor excluir:
Portanto é necessário excluir
da solução.
Passo 6
Combinar as restrições obtidas:
- De
veio . - De
veio .
E o argumentonão impôs restrição extra. Logo os valores de que tornam bem definido são todos os tais que
Passo 7
Interpretação prática com exemplos rápidos (para fixar):
- Se
, então (base positiva e diferente de ), logo existe. - Se
, então (base igual a ), logo não existe — por isso excluímos . - Se
, então (base negativa), logo não existe.