9.2.8 Determine os valores de x para que exista logaritmo:
d) \log _{(4-x)}(x-2)

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de x para os quais existe o logaritmo \log_{(4-x)}(x-2).
Informações relevantes do enunciado: a expressão do logaritmo é \log_{(4-x)}(x-2). Não há outras informações externas.

Passo 2

Regras básicas (o que precisa acontecer para um logaritmo existir). Para \log_{a}(b) existir é necessário, simultaneamente:
  • a base a ser positiva: a>0;
  • a base a ser diferente de 1: a\neq 1;
  • o argumento b ser positivo: b>0.
Vou aplicar essas três condições ao caso a=4-x e b=x-2.

Passo 3

Condição do argumento: o argumento é x-2. Exigimos x-2>0. Resolvendo:
x-2>0 \quad\Rightarrow\quad x>2.
Explicação curta: subtrai-se 2 dos dois lados da desigualdade; qualquer x maior que 2 torna o argumento positivo.

Passo 4

Condição da base positiva: a base é 4-x. Exigimos 4-x>0. Resolvendo:
4-x>0 \quad\Rightarrow\quad -x>-4 \quad\Rightarrow\quad x<4.
Observação didática: ao multiplicar ou dividir por -1 numa desigualdade, o sentido da desigualdade inverte. Aqui passei de 4-x>0 para -x>-4 e então para x<4.

Passo 5

Condição da base diferente de 1: exigimos 4-x\neq 1. Resolvendo:
4-x\neq 1 \quad\Rightarrow\quad -x\neq -3 \quad\Rightarrow\quad x\neq 3.
Ou seja, x=3 está proibido porque faria a base igual a 1, e \log com base 1 não é definido.

Passo 6

Agora juntamos as três condições obtidas:
  • x>2 (do argumento),
  • x<4 (da base positiva),
  • x\neq 3 (base não pode ser 1).
As duas primeiras dão 2<x<4. Somando a exclusão x\neq 3, o conjunto de x admissíveis é o intervalo aberto (2,4) com o ponto 3 removido, isto é, os x em (2,3) ou em (3,4).
Dicas rápidas de prova: verifique sempre os extremos — aqui x=2 deixa o argumento zero (inválido), x=4 deixa a base zero (inválido) e x=3 deixa a base igual a 1 (inválido). Valores interiores como x=2,5 (isto é, x=2{,}5) ou x=3{,}5 funcionam: por exemplo, para x=2{,}5 tem-se base 4-2{,}5=1{,}5>0,\neq1 e argumento 0{,}5>0.

Resposta

x\in(2,3)\cup(3,4)

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