9.2.8 Determine os valores de
para que exista logaritmo:
d)
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores de
para os quais existe o logaritmo
.
Informações relevantes do enunciado: a expressão do logaritmo é . Não há outras informações externas.
Informações relevantes do enunciado: a expressão do logaritmo é
Passo 2
Regras básicas (o que precisa acontecer para um logaritmo existir). Para
existir é necessário, simultaneamente:
- a base
ser positiva: ; - a base
ser diferente de : ; - o argumento
ser positivo: .
Vou aplicar essas três condições ao caso
e
.
Passo 3
Condição do argumento: o argumento é
. Exigimos
. Resolvendo:
Explicação curta: subtrai-se
dos dois lados da desigualdade; qualquer
maior que
torna o argumento positivo.
Passo 4
Condição da base positiva: a base é
. Exigimos
. Resolvendo:
Observação didática: ao multiplicar ou dividir por
numa desigualdade, o sentido da desigualdade inverte. Aqui passei de
para
e então para
.
Passo 5
Condição da base diferente de
: exigimos
. Resolvendo:
Ou seja,
está proibido porque faria a base igual a
, e
com base
não é definido.
Passo 6
Agora juntamos as três condições obtidas:
-
(do argumento), -
(da base positiva), -
(base não pode ser ).
As duas primeiras dão
. Somando a exclusão
, o conjunto de
admissíveis é o intervalo aberto
com o ponto
removido, isto é, os
em
ou em
.
Dicas rápidas de prova: verifique sempre os extremos — aqui
deixa o argumento zero (inválido),
deixa a base zero (inválido) e
deixa a base igual a
(inválido). Valores interiores como
(isto é,
) ou
funcionam: por exemplo, para
tem-se base
e argumento
.