9.2.8 Determine os valores de
para que exista logaritmo:
(a)
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores de
para os quais a expressão
está bem definida (ou seja, “existe”). Informação fornecida pelo enunciado:
- A expressão dada é
. - A base do logaritmo não foi especificada (isso não altera a condição de existência quanto ao argumento).
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): um logaritmo
está definido somente quando o argumento
é positivo. Isso vem da definição do logaritmo:
significa
para alguma base
com
. Potências de números positivos nunca dão zero nem números negativos, portanto só faz sentido
se
.
Também vale lembrar (rapidez de álgebra): ao resolver desigualdades, somar ou subtrair a mesma constante nos dois lados preserva a desigualdade.
Passo 3
Aplicando a condição de existência do logaritmo ao nosso caso: o argumento é
. Logo devemos ter
Passo 4
Resolver a desigualdade acima. Somando
em ambos os lados (operação permitida que preserva a desigualdade) obtemos
Passo 5
Verificações rápidas e exemplos (para fixar):
- Se
então , está definido. - Se
então , que não existe. - Se
então , que também não existe.