9.2.8 Determine os valores de x para que exista logaritmo:
(a) \log (x-2)

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de x para os quais a expressão \log(x-2) está bem definida (ou seja, “existe”). Informação fornecida pelo enunciado:
  • A expressão dada é \log(x-2).
  • A base do logaritmo não foi especificada (isso não altera a condição de existência quanto ao argumento).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): um logaritmo \log(y) está definido somente quando o argumento y é positivo. Isso vem da definição do logaritmo: \log(y)=a significa b^a=y para alguma base b>0 com b\neq1. Potências de números positivos nunca dão zero nem números negativos, portanto só faz sentido \log(y) se y>0.
Também vale lembrar (rapidez de álgebra): ao resolver desigualdades, somar ou subtrair a mesma constante nos dois lados preserva a desigualdade.

Passo 3

Aplicando a condição de existência do logaritmo ao nosso caso: o argumento é x-2. Logo devemos ter
x-2>0.

Passo 4

Resolver a desigualdade acima. Somando 2 em ambos os lados (operação permitida que preserva a desigualdade) obtemos
x>2.

Passo 5

Verificações rápidas e exemplos (para fixar):
  • Se x=3 então \log(3-2)=\log(1)=0, está definido.
  • Se x=2 então \log(2-2)=\log(0), que não existe.
  • Se x=1 então \log(1-2)=\log(-1), que também não existe.

Resposta

x>2

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