1. Determine o volume do paralelepípedo formado pelos vetores \boldsymbol{u}=(-2,1,-4), \boldsymbol{v}=(0,-2,-2) e \boldsymbol{w}=(-2,-1,-1).

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume do paralelepípedo formado pelos vetores dados. As informações fornecidas são os três vetores:
\boldsymbol{u}=(-2,1,-4),\qquad \boldsymbol{v}=(0,-2,-2),\qquad \boldsymbol{w}=(-2,-1,-1).
Pergunta explícita: qual é o volume do paralelepípedo gerado por \boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}?

Passo 2

Ideia-chave que vou usar (explicada passo a passo):
  • O volume do paralelepípedo determinado por três vetores em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto misto (scalar triple product) desses vetores.
  • O produto misto de \boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w} é \boldsymbol{u}\cdot(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}).
  • Esse produto misto é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são os componentes de \boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}:
\boldsymbol{u}\cdot(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w})=\det\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3\\[4pt] w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}.
  • O volume é o valor absoluto disso:
\text{Volume}=\left|\boldsymbol{u}\cdot(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w})\right|=\left|\det\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3\\[4pt] w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}\right|.
Explicando por que: o módulo do produto vetorial \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w} é a área do paralelogramo gerado por \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}; o produto escalar com \boldsymbol{u} projeta \boldsymbol{u} nessa direção dando a altura; o produto área × altura dá o volume (com sinal, por isso tomamos o valor absoluto).]

Passo 3

Vou aplicar a regra do determinante diretamente com as linhas sendo \boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}. A matriz é
A=\begin{pmatrix} -2 & 1 & -4\\[4pt] 0 & -2 & -2\\[4pt] -2 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
O determinante \det(A) é igual ao produto misto \boldsymbol{u}\cdot(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}).]

Passo 4

Vou expandir o determinante por cofatores usando a primeira linha. A fórmula (expansão pela primeira linha) é
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}M_{1j} e M_{1j} é o menor obtido ao eliminar a linha 1 e a coluna j.
Aqui a_{11}=-2, a_{12}=1, a_{13}=-4. Vou calcular cada menor.
  • Menor M_{11}: eliminar linha 1 e coluna 1 deixa a submatriz
\begin{pmatrix} -2 & -2\\[4pt] -1 & -1 \end{pmatrix}.
Então
M_{11}=(-2)(-1)-(-2)(-1)=2-2=0.
O cofator C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+0=0.
  • Menor M_{12}: eliminar linha 1 e coluna 2 deixa
\begin{pmatrix} 0 & -2\\[4pt] -2 & -1 \end{pmatrix}.
Então
M_{12}=0\cdot(-1)-(-2)\cdot(-2)=0-4=-4.
O cofator C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot(-4)=4.
  • Menor M_{13}: eliminar linha 1 e coluna 3 deixa
\begin{pmatrix} 0 & -2\\[4pt] -2 & -1 \end{pmatrix},
que é a mesma submatriz que no caso anterior, portanto
M_{13}=-4.
O cofator C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=+1\cdot(-4)=-4.]

Passo 5

Agora monto a soma com os coeficientes da primeira linha:
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13} =(-2)\cdot 0 + 1\cdot 4 + (-4)\cdot(-4).
Calcule cada termo:
(-2)\cdot 0 = 0,\qquad 1\cdot 4 = 4,\qquad (-4)\cdot(-4)=16.
Somando:
\det(A)=0+4+16=20.

Passo 6

Como o volume é o valor absoluto do determinante (produto misto), temos
\text{Volume}=\left|\det(A)\right|=\left|20\right|=20.
(Pequeno check alternativo: calculando \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}=(0,4,-4) e depois \boldsymbol{u}\cdot(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w})=(-2)\cdot0+1\cdot4+(-4)\cdot(-4)=20, confirma o resultado.)

Resposta

20

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