Determine o volume do paralelepípedo formado pelos vetores \boldsymbol{u}=(2,-1,1), \boldsymbol{v}=(3,-4,2) e \overrightarrow{\mathrm{AB}} sendo \mathrm{A}=(2,3,-1), \mathrm{B}=(3,4,-2).
Passo 1
O enunciado dá os vetores e os pontos abaixo e pede o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores:
\boldsymbol{u}=(2,-1,1).
\boldsymbol{v}=(3,-4,2).
Pontos \mathrm{A}=(2,3,-1) e \mathrm{B}=(3,4,-2), portanto o terceiro vetor é \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O terceiro vetor \overrightarrow{\mathrm{AB}} deve ser obtido subtraindo coordenadas: \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\mathrm{B}-\mathrm{A}.
O que se pede: o volume do paralelepípedo determinado por \boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\overrightarrow{\mathrm{AB}}.
Passo 2
Calcular explicitamente \overrightarrow{\mathrm{AB}} a partir das coordenadas de \mathrm{A} e \mathrm{B}.
Então o terceiro vetor é \overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,1,-1).
Passo 3
Explicar o conceito que vamos usar: produto misto (ou triplo) e como ele dá o volume.
Produto misto de três vetores \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} é definido como o produto escalar de um com o produto vetorial dos outros: \boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}).
Geometricamente, o valor absoluto do produto misto é o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores:
(Observação rápida: o sinal no componente \boldsymbol{j} já foi tratado pela regra de sinais da expansão.)]
Passo 5
Calcular o produto escalar \boldsymbol{u}\cdot(\boldsymbol{v}\times\overrightarrow{\mathrm{AB}}).
Temos \boldsymbol{u}=(2,-1,1) e \boldsymbol{v}\times\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,5,7). O produto escalar é soma dos produtos das componentes correspondentes:
O produto misto deu 6. O volume é o valor absoluto desse número:
\text{Volume}=\left|6\right|=6.
Comentário amigável: deu um número inteiro bacana — na prova, se fizer tudo direitinho como acima (calcular \overrightarrow{\mathrm{AB}}, depois \boldsymbol{v}\times\overrightarrow{\mathrm{AB}} e por fim o ponto escalar com \boldsymbol{u}), chega rápido ao resultado.