1. Determine o volume do paralelepípedo formado pelos vetores \boldsymbol{u}=(2,-1,1), \boldsymbol{v}=(3,-4,2) e \overrightarrow{\mathrm{AB}} sendo \mathrm{A}=(2,3,-1), \mathrm{B}=(3,4,-2).

Passo 1

O enunciado dá os vetores e os pontos abaixo e pede o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores:
  • \boldsymbol{u}=(2,-1,1).
  • \boldsymbol{v}=(3,-4,2).
  • Pontos \mathrm{A}=(2,3,-1) e \mathrm{B}=(3,4,-2), portanto o terceiro vetor é \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O terceiro vetor \overrightarrow{\mathrm{AB}} deve ser obtido subtraindo coordenadas: \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\mathrm{B}-\mathrm{A}.
  • O que se pede: o volume do paralelepípedo determinado por \boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\overrightarrow{\mathrm{AB}}.

Passo 2

Calcular explicitamente \overrightarrow{\mathrm{AB}} a partir das coordenadas de \mathrm{A} e \mathrm{B}.
Subtração componente a componente:
\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3-2,\;4-3,\;-2-(-1))=(1,1,-1).
Então o terceiro vetor é \overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,1,-1).

Passo 3

Explicar o conceito que vamos usar: produto misto (ou triplo) e como ele dá o volume.
  • Produto misto de três vetores \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} é definido como o produto escalar de um com o produto vetorial dos outros: \boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}).
  • Geometricamente, o valor absoluto do produto misto é o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores:
\text{Volume} = \left|\boldsymbol{u}\cdot(\boldsymbol{v}\times\overrightarrow{\mathrm{AB}})\right|.
  • Computacionalmente esse produto misto é igual ao determinante 3×3 cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas dos vetores:
\boldsymbol{u}\cdot(\boldsymbol{v}\times\overrightarrow{\mathrm{AB}})= \det\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\[4pt] 3 & -4 & 2\\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Vou calcular o produto vetorial e o produto escalar explicitando cada passo (método prático para a prova).]

Passo 4

Calcular o produto vetorial \boldsymbol{v}\times\overrightarrow{\mathrm{AB}}.
Usando a regra do determinante com as componentes (ou a fórmula componente a componente):
\boldsymbol{v}\times\overrightarrow{\mathrm{AB}}= \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\[2pt] 3 & -4 & 2 \\[2pt] 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}.
Expandindo por co-fatores:
\boldsymbol{v}\times\overrightarrow{\mathrm{AB}}= \boldsymbol{i}\big((-4)\cdot(-1)-2\cdot1\big) -\boldsymbol{j}\big(3\cdot(-1)-2\cdot1\big) +\boldsymbol{k}\big(3\cdot1-(-4)\cdot1\big).
Calcule cada termo:
(-4)\cdot(-1)-2\cdot1=4-2=2,
3\cdot(-1)-2\cdot1=-3-2=-5,
3\cdot1-(-4)\cdot1=3+4=7.
Substituindo:
\boldsymbol{v}\times\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,\; -(-5),\;7)=(2,5,7).
(Observação rápida: o sinal no componente \boldsymbol{j} já foi tratado pela regra de sinais da expansão.)]

Passo 5

Calcular o produto escalar \boldsymbol{u}\cdot(\boldsymbol{v}\times\overrightarrow{\mathrm{AB}}).
Temos \boldsymbol{u}=(2,-1,1) e \boldsymbol{v}\times\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,5,7). O produto escalar é soma dos produtos das componentes correspondentes:
\boldsymbol{u}\cdot(\boldsymbol{v}\times\overrightarrow{\mathrm{AB}})= 2\cdot2 + (-1)\cdot5 + 1\cdot7.
Calcule:
2\cdot2=4,\qquad (-1)\cdot5=-5,\qquad 1\cdot7=7.
Somando:
4 + (-5) + 7 = 4-5+7 = 6.

Passo 6

Interpretar o resultado e obter o volume.
O produto misto deu 6. O volume é o valor absoluto desse número:
\text{Volume}=\left|6\right|=6.
Comentário amigável: deu um número inteiro bacana — na prova, se fizer tudo direitinho como acima (calcular \overrightarrow{\mathrm{AB}}, depois \boldsymbol{v}\times\overrightarrow{\mathrm{AB}} e por fim o ponto escalar com \boldsymbol{u}), chega rápido ao resultado.

Resposta

6

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