Determine o volume do sólido compreendido entre as superfícies indicadas sobre a região R.
Entre z=8-x^{2}-y^{2} e z=0, sobre o disco x^{2}+y^{2} \leq 4.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (peguei tudo do enunciado):
  • Superfícies: z=8-x^{2}-y^{2} (uma paraboloide voltada para baixo) e z=0 (plano).
  • Região R: o disco \,x^{2}+y^{2}\leq 4.
    O enunciado pede: determinar o volume do sólido compreendido entre essas duas superfícies sobre a região R. Ou seja, o volume entre a paraboloide e o plano, restrito ao disco de raio 2.

Passo 2

Como interpretar o volume com integrais (fórmula básica e por que ela vale).
  • O volume entre duas superfícies z=f(x,y) (superior) e z=g(x,y) (inferior) sobre uma região R no plano xy é dado por
V=\iint_{R} \big(f(x,y)-g(x,y)\big)\,dA.
  • Aqui f(x,y)=8-x^{2}-y^{2} e g(x,y)=0. Então o volume é
V=\iint_{R} \big(8-x^{2}-y^{2}\big)\,dA.
Explicação didática: cada pequeno pedaço de área \,dA sobre R sustenta um “pilar” de altura f-g; somando (integrando) esses volumes elementares obtemos o volume total.

Passo 3

Por que usar coordenadas polares e como fazer a mudança.
  • A região R é um disco centrado na origem com raio 2, então coordenadas polares tornam os limites simples.
  • Definição das coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta medindo o ângulo.
  • Elemento de área em polares: dA=r\,dr\,d\theta. Intuição rápida: um pequeno retângulo em r,\theta corresponde a um “fatia” com área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta; esse fator r é o jacobiano da transformação.

Passo 4

Converter o integrando e fixar os limites.
  • Em polares temos x^{2}+y^{2}=r^{2}. Logo o integrando fica 8-r^{2}.
  • O disco \,x^{2}+y^{2}\le 4 vira 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi.
  • Montando a integral em polares:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\big(8-r^{2}\big)\,r\,dr\,d\theta.
Explicação: o r extra vem do dA; o produto (8-r^{2})\cdot r é o integrando efetivo em dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna (integração em r).
  • Primeiro escrevemos o integrando expandido:
(8-r^{2})\,r=8r-r^{3}.
  • Agora integramos em r de 0 a 2:
\int_{0}^{2} (8r-r^{3})\,dr = \int_{0}^{2}8r\,dr - \int_{0}^{2}r^{3}\,dr.
Calcule cada parte:
\int_{0}^{2}8r\,dr = 8\cdot\frac{r^{2}}{2}\Big|_{0}^{2}=4\cdot(2)^{2}=4\cdot4=16,
\int_{0}^{2}r^{3}\,dr = \frac{r^{4}}{4}\Big|_{0}^{2}=\frac{(2)^{4}}{4}=\frac{16}{4}=4.
  • Subtraindo:
\int_{0}^{2} (8r-r^{3})\,dr = 16-4=12.

Passo 6

Calcular a integral externa (integração em \theta) e obter o volume.
  • Agora integramos o resultado constante em \theta de 0 a 2\pi:
V=\int_{0}^{2\pi} 12\,d\theta = 12\cdot\theta\Big|_{0}^{2\pi}=12\cdot 2\pi = 24\pi.
  • Checagem rápida de plausibilidade: o integrando é positivo em todo o disco (em r=2, 8-r^{2}=8-4=4>0), então o volume positivo faz sentido.

Passo 7

Observação final sobre o método (por que não fiz em coordenadas cartesianas).
  • Poderia-se calcular a integral dupla em coordenadas cartesianas, mas os limites para x e y seriam mais complicados (uma descrição via y=\pm\sqrt{4-x^{2}}), tornando as integrais mais pesadas. Polares são a escolha natural para domínios circulares e reduzem muito o trabalho.

Resposta

\,24\pi

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