Determine o volume do sólido compreendido entre as superfícies indicadas sobre a região R.
Entre z=8-x^{2}-y^{2} e z=0, sobre o disco x^{2}+y^{2} \leq 4.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (peguei tudo do enunciado):
Superfícies: z=8-x^{2}-y^{2} (uma paraboloide voltada para baixo) e z=0 (plano).
Região R: o disco \,x^{2}+y^{2}\leq 4.
O enunciado pede: determinar o volume do sólido compreendido entre essas duas superfícies sobre a região R. Ou seja, o volume entre a paraboloide e o plano, restrito ao disco de raio 2.
Passo 2
Como interpretar o volume com integrais (fórmula básica e por que ela vale).
O volume entre duas superfícies z=f(x,y) (superior) e z=g(x,y) (inferior) sobre uma região R no plano xy é dado por
V=\iint_{R} \big(f(x,y)-g(x,y)\big)\,dA.
Aqui f(x,y)=8-x^{2}-y^{2} e g(x,y)=0. Então o volume é
V=\iint_{R} \big(8-x^{2}-y^{2}\big)\,dA.
Explicação didática: cada pequeno pedaço de área \,dA sobre R sustenta um “pilar” de altura f-g; somando (integrando) esses volumes elementares obtemos o volume total.
Passo 3
Por que usar coordenadas polares e como fazer a mudança.
A região R é um disco centrado na origem com raio 2, então coordenadas polares tornam os limites simples.
Definição das coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta medindo o ângulo.
Elemento de área em polares: dA=r\,dr\,d\theta. Intuição rápida: um pequeno retângulo em r,\theta corresponde a um “fatia” com área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta; esse fator r é o jacobiano da transformação.
Passo 4
Converter o integrando e fixar os limites.
Em polares temos x^{2}+y^{2}=r^{2}. Logo o integrando fica 8-r^{2}.
O disco \,x^{2}+y^{2}\le 4 vira 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi.
Checagem rápida de plausibilidade: o integrando é positivo em todo o disco (em r=2, 8-r^{2}=8-4=4>0), então o volume positivo faz sentido.
Passo 7
Observação final sobre o método (por que não fiz em coordenadas cartesianas).
Poderia-se calcular a integral dupla em coordenadas cartesianas, mas os limites para x e y seriam mais complicados (uma descrição via y=\pm\sqrt{4-x^{2}}), tornando as integrais mais pesadas. Polares são a escolha natural para domínios circulares e reduzem muito o trabalho.