Determine o volume do sólido compreendido entre as superfícies indicadas sobre a região
.
Entre
e
, sobre a região triangular limitada por
e
.
Entre
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Superfícies dadas:
-
. -
.
-
- Região
no plano : triângulo limitado por as retas , e . - O que o enunciado pede: determinar o volume do sólido compreendido entre as duas superfícies sobre a região
. Em outras palavras, calcular o volume do corpo formado pelos pontos tais que e está entre as duas superfícies.
Passo 2
Lembrete da fórmula para volume entre duas superfícies sobre uma região plana: se sobre uma região
temos uma superfície superior
e uma inferior
, então o volume
do sólido entre elas é
Explicando essa fórmula de forma simples: dividimos a base
em pequenas áreas
. Sobre cada
, a “altura” do sólido é a diferença vertical entre as superfícies. Somando (integrando) essas alturas multiplicadas por
obtemos o volume total.
Nesta fórmula:
-
é o valor maior de (a superfície superior) em cada ponto . -
é o valor menor de (a superfície inferior). -
é o elemento de área no plano , que em coordenadas cartesianas vale (ou ), dependendo da ordem de integração.
Passo 3
Determinar qual superfície é superior (top) e qual é inferior (bot):
Comparando as duas superfícies, para qualquer
temos
portanto
e
. Assim o integrando simplifica muito:
Ou seja, a altura do sólido sobre cada ponto
de
é constante e igual a
.
Passo 4
Descrever a região
e escolher os limites de integração.
A região é o triângulo limitado por
,
e
.
- Para cada
entre e , a coordenada varia de até (porque é a base e é a hipotenusa do triângulo).
Logo uma parametrização conveniente é
Passo 5
Montar e calcular a integral de área com o integrando encontrado:
Usando a fórmula do Passo 2 e o fato de que o integrando é constante
, temos
Escolhendo a ordem
com os limites do Passo 4:
Calcule a integral interna:
Agora a integral externa:
Calcule passo a passo:
. Então
(Como checagem alternativa: a área do triângulo
é
. Como a altura do sólido sobre cada ponto é
, o volume também pode ser obtido por
.)
Passo 6
Comentário final e incentivo: a integração ficou bem simples porque a diferença entre as superfícies não depende de
. Esse tipo de questão costuma aparecer em provas como um exercício rápido se reconhecer essa simplificação. Você já fez a parte mais difícil: identificar a região correta e perceber que o integrando é constante. Tá indo bem — continue assim!