Determine o volume do sólido compreendido entre as superfícies indicadas sobre a região R.
Entre z=x y+5 e z=x y, sobre a região triangular limitada por y=0, y=x e x=2.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Superfícies dadas:
    • z = x y + 5.
    • z = x y.
  • Região R no plano xy: triângulo limitado por as retas y=0, y=x e x=2.
  • O que o enunciado pede: determinar o volume do sólido compreendido entre as duas superfícies sobre a região R. Em outras palavras, calcular o volume do corpo formado pelos pontos (x,y,z) tais que (x,y)\in R e z está entre as duas superfícies.

Passo 2

Lembrete da fórmula para volume entre duas superfícies sobre uma região plana: se sobre uma região R temos uma superfície superior z_{\text{top}}(x,y) e uma inferior z_{\text{bot}}(x,y), então o volume V do sólido entre elas é
V=\iint_{R}\bigl(z_{\text{top}}(x,y)-z_{\text{bot}}(x,y)\bigr)\,dA.
Explicando essa fórmula de forma simples: dividimos a base R em pequenas áreas dA. Sobre cada dA, a “altura” do sólido é a diferença vertical entre as superfícies. Somando (integrando) essas alturas multiplicadas por dA obtemos o volume total.
Nesta fórmula:
  • z_{\text{top}}(x,y) é o valor maior de z (a superfície superior) em cada ponto (x,y).
  • z_{\text{bot}}(x,y) é o valor menor de z (a superfície inferior).
  • dA é o elemento de área no plano xy, que em coordenadas cartesianas vale dA=dx\,dy (ou dy\,dx), dependendo da ordem de integração.

Passo 3

Determinar qual superfície é superior (top) e qual é inferior (bot):
Comparando as duas superfícies, para qualquer (x,y) temos
x y + 5 > x y,
portanto z_{\text{top}}(x,y)=x y+5 e z_{\text{bot}}(x,y)=x y. Assim o integrando simplifica muito:
z_{\text{top}}(x,y)-z_{\text{bot}}(x,y)=(x y+5)-x y=5.
Ou seja, a altura do sólido sobre cada ponto (x,y) de R é constante e igual a \,5.

Passo 4

Descrever a região R e escolher os limites de integração.
A região é o triângulo limitado por y=0, y=x e x=2.
  • Para cada x entre \,0 e \,2, a coordenada y varia de \,0 até \,x (porque y=0 é a base e y=x é a hipotenusa do triângulo).
    Logo uma parametrização conveniente é
0\le x\le 2,\qquad 0\le y\le x.

Passo 5

Montar e calcular a integral de área com o integrando encontrado:
Usando a fórmula do Passo 2 e o fato de que o integrando é constante \,5, temos
V=\iint_{R} 5\,dA.
Escolhendo a ordem dy\,dx com os limites do Passo 4:
V=\int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=0}^{x} 5\,dy\right)dx.
Calcule a integral interna:
\int_{y=0}^{x} 5\,dy = \bigl[5y\bigr]_{0}^{x} = 5x.
Agora a integral externa:
V=\int_{0}^{2} 5x\,dx = 5\int_{0}^{2} x\,dx = 5\left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{2} = 5\cdot \tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}.
Calcule passo a passo: \tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 4=2. Então
V=5\cdot 2.
(Como checagem alternativa: a área do triângulo R é \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2. Como a altura do sólido sobre cada ponto é 5, o volume também pode ser obtido por V=5\times\text{Área}(R)=5\cdot 2Á.)

Passo 6

Comentário final e incentivo: a integração ficou bem simples porque a diferença entre as superfícies não depende de (x,y). Esse tipo de questão costuma aparecer em provas como um exercício rápido se reconhecer essa simplificação. Você já fez a parte mais difícil: identificar a região correta e perceber que o integrando é constante. Tá indo bem — continue assim!

Resposta

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