Determine o volume do sólido dado em cada situação a seguir:
Abaixo do plano
e acima da região limitada por
.
Abaixo do plano
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume do sólido que está abaixo do plano
e acima da região do plano
limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
- Plano:
. Isolando obtemos a função de altura do plano: - As curvas que delimitam a região
no plano são: - reta:
, isto é - parábola:
, isto é
- reta:
O que se pede exatamente:
- Calcular o volume do sólido que fica, para cada ponto
da região , entre (o plano ) e o plano . Em cálculo de várias variáveis isso corresponde a avaliar a integral dupla do topo sobre a região :
Passo 2
Entendendo a estratégia (fórmula e ideia usada).
- Quando um sólido está “abaixo” de uma superfície
e “acima” de uma região do plano , o volume é
Aqui
.
- Para calcular
é conveniente escolher coordenadas de integração iterada. Vou usar a ordem (integrar primeiro em para cada ), porque as curvas dadas permitem escrever como funções de facilmente: vai de até , e varia entre as abscissas dos pontos de interseção das curvas.
Passo 3
Determinar os limites da região
(interseção das curvas).
- Igualamos as duas expressões de
:
- Resolver a equação:
Fatorando:
portanto as interseções ocorrem em
e
.
- Para cada
entre e a reta está acima da parábola (pode-se verificar por um valor intermediário, por exemplo : e , então ). Logo os limites são:
Passo 4
Montar a integral dupla iterada com os limites encontrados.
Agora vamos calcular a integral interna em
. Vou mostrar passo a passo a primitiva em
:
- Integral de
em relação a é (porque é constante em ). - Integral de
em relação a é .
Portanto a primitiva em
é
Avaliaremos entre
e
.
Passo 5
Avaliar a integral interna e simplificar a expressão resultante em função de
.
- Avaliando em
:
- Avaliando em
:
- Subtraindo:
Agora expandimos e simplificamos (faço passo a passo para não se perder):
- Primeiro
- Segundo, expandir
:
- Terceiro,
- Somando segundo e terceiro:
- Então a função de
obtida após integrar em é
- Simplificando termo a termo:
Portanto agora a integral em
é
Passo 6
Calcular a integral em
(antiderivada e avaliação nos limites).
- Antiderivada termo a termo:
- Avaliando entre
e :
Calcule em
:
Fazendo em frações:
logo soma =
Calcule em
:
Passo a passo:
Somando:
- Portanto o valor da integral é
Colocando em denominador comum
:
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida:
- O resultado
é positivo (faz sentido para um volume). - Em forma decimal é
; mas a forma fracionária é a resposta exata.