Determine o volume do sólido dado em cada situação a seguir:
Abaixo do plano x-2 x+z=1 e acima da região limitada por x+y=1 \mathrm{e} x^{2}-y=1.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume do sólido que está abaixo do plano x-2y+z=1 e acima da região do plano xy limitada pelas curvas x+y=1 e x^{2}-y=1.
Informações dadas:
  • Plano: x-2y+z=1. Isolando z obtemos a função de altura do plano: z_{\text{plano}}=1-x+2y.
  • As curvas que delimitam a região R no plano xy são:
    • reta: x+y=1, isto é y=1-x;
    • parábola: x^{2}-y=1, isto é y=x^{2}-1.
O que se pede exatamente:
  • Calcular o volume do sólido que fica, para cada ponto (x,y) da região R, entre z=0 (o plano xy) e o plano z=1-x+2y. Em cálculo de várias variáveis isso corresponde a avaliar a integral dupla do topo z_{\text{plano}} sobre a região R:
V=\iint_{R} (1-x+2y)\,dA.

Passo 2

Entendendo a estratégia (fórmula e ideia usada).
  • Quando um sólido está “abaixo” de uma superfície z=f(x,y) e “acima” de uma região R do plano xy, o volume é
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y)=1-x+2y.
  • Para calcular \iint_{R} f(x,y)\,dA é conveniente escolher coordenadas de integração iterada. Vou usar a ordem dydx (integrar primeiro em y para cada x), porque as curvas dadas permitem escrever y como funções de x facilmente: y vai de y_{\text{inf}}(x)=x^{2}-1 até y_{\text{sup}}(x)=1-x, e x varia entre as abscissas dos pontos de interseção das curvas.

Passo 3

Determinar os limites da região R (interseção das curvas).
  • Igualamos as duas expressões de y:
1-x = x^{2}-1.
  • Resolver a equação:
x^{2}+x-2=0.
Fatorando:
(x+2)(x-1)=0,
portanto as interseções ocorrem em x=-2 e x=1.
  • Para cada x entre -2 e 1 a reta y=1-x está acima da parábola y=x^{2}-1 (pode-se verificar por um valor intermediário, por exemplo x=0: 1-0=1 e 0^2-1=-1, então 1>-1). Logo os limites são:
-2\le x\le 1,\qquad x^{2}-1\le y\le 1-x.

Passo 4

Montar a integral dupla iterada com os limites encontrados.
V=\int_{x=-2}^{1}\int_{y=x^{2}-1}^{\,1-x} (1-x+2y)\,dy\,dx.
Agora vamos calcular a integral interna em y. Vou mostrar passo a passo a primitiva em y:
  • Integral de 1-x em relação a y é (1-x)\,y (porque (1-x) é constante em y).
  • Integral de 2y em relação a y é y^{2}.
Portanto a primitiva em y é
(1-x)y + y^{2}.
Avaliaremos entre y=x^{2}-1 e y=1-x.

Passo 5

Avaliar a integral interna e simplificar a expressão resultante em função de x.
  • Avaliando em y=1-x:
(1-x)(1-x) + (1-x)^{2} = (1-x)^{2} + (1-x)^{2} = 2(1-x)^{2}.
  • Avaliando em y=x^{2}-1:
(1-x)(x^{2}-1) + (x^{2}-1)^{2}.
  • Subtraindo:
\text{integrando em }y \Rightarrow 2(1-x)^{2} -\big[(1-x)(x^{2}-1) + (x^{2}-1)^{2}\big].
Agora expandimos e simplificamos (faço passo a passo para não se perder):
  • Primeiro 2(1-x)^{2}=2(1 -2x + x^{2})=2 -4x +2x^{2}.
  • Segundo, expandir (1-x)(x^{2}-1):
(1-x)(x^{2}-1)= -x^{3}+x^{2}+x-1.
  • Terceiro, (x^{2}-1)^{2}=x^{4}-2x^{2}+1.
  • Somando segundo e terceiro:
(1-x)(x^{2}-1)+(x^{2}-1)^{2}=x^{4}-x^{3}-x^{2}+x.
  • Então a função de x obtida após integrar em y é
2 -4x +2x^{2} -\big(x^{4}-x^{3}-x^{2}+x\big).
  • Simplificando termo a termo:
- x^{4} + x^{3} +3x^{2} -5x +2.
Portanto agora a integral em x é
V=\int_{-2}^{1} \big(- x^{4} + x^{3} +3x^{2} -5x +2\big)\,dx.

Passo 6

Calcular a integral em x (antiderivada e avaliação nos limites).
  • Antiderivada termo a termo:
\int \big(- x^{4} + x^{3} +3x^{2} -5x +2\big)\,dx = -\frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{5x^{2}}{2} + 2x + C.
  • Avaliando entre x=-2 e x=1:
Calcule em x=1:
-\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{4}}{4} + 1^{3} - \frac{5\cdot 1^{2}}{2} + 2\cdot 1 = -\frac{1}{5} + \frac{1}{4} + 1 - \frac{5}{2} + 2.
Fazendo em frações:
-\frac{1}{5}+\frac{1}{4} = \frac{1}{20},\qquad 1 - \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{2},
logo soma = \frac{1}{20}+\frac{1}{2}=\frac{11}{20}.
Calcule em x=-2:
-\frac{(-2)^{5}}{5} + \frac{(-2)^{4}}{4} + (-2)^{3} - \frac{5(-2)^{2}}{2} + 2(-2).
Passo a passo:
- \frac{-32}{5} = \frac{32}{5},\quad \frac{16}{4}=4,\quad (-2)^{3}=-8,\quad -\frac{5\cdot 4}{2}=-10,\quad 2(-2)=-4.
Somando: \frac{32}{5} + 4 -8 -10 -4 = \frac{32}{5} -18 = \frac{32-90}{5} = -\frac{58}{5}.
  • Portanto o valor da integral é
V = F(1)-F(-2) = \frac{11}{20} -\left(-\frac{58}{5}\right) = \frac{11}{20} + \frac{58}{5}.
Colocando em denominador comum 20:
\frac{11}{20} + \frac{232}{20} = \frac{243}{20}.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida:
  • O resultado \dfrac{243}{20} é positivo (faz sentido para um volume).
  • Em forma decimal é 12{,}15; mas a forma fracionária \dfrac{243}{20} é a resposta exata.

Resposta

\dfrac{243}{20}

Exercícios relacionados