Determine o volume do sólido limitado superiormente pela superfície indicada e inferiormente pelo plano z=0 sobre a região R.
z=6-x-2 y, onde R é a região triangular limitada pelos eixos coordenados e pela reta x+2 y=6.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se o volume do sólido que está entre a superfície z=6-x-2y (face superior) e o plano z=0 (face inferior), sobre a região R no plano xy.
  • A região R é o triângulo limitado pelos eixos x=0, y=0 e pela reta x+2y=6.
  • Pontos de interseção com os eixos (obtidos da reta x+2y=6):
    • com o eixo x (quando y=0): x=6 → ponto (6,0);
    • com o eixo y (quando x=0): 2y=6\Rightarrow y=3 → ponto (0,3).
  • Logo os vértices de R são (0,0), (6,0) e (0,3).

Passo 2

Conceito usado (aula rapidinha):
  • O volume entre a superfície z=f(x,y) e o plano z=0 sobre uma região R do plano xy é dado pela integral dupla
\text{Volume}=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
  • Aqui f(x,y)=6-x-2y. A interpretação: em cada ponto (x,y)\in R a altura do sólido é z=f(x,y), e somando (integrando) essas alturas sobre R obtemos o volume.

Passo 3

Escolha das coordenadas e limites de integração:
  • Descrevemos R por desigualdades: x\ge0, y\ge0 e x+2y\le6.
  • É conveniente integrar primeiro em x: para um dado y com 0\le y\le3 temos 0\le x\le 6-2y.
  • Portanto podemos escrever a integral como
\text{Volume}=\int_{y=0}^{3}\int_{x=0}^{6-2y} (6-x-2y)\,dx\,dy.

Passo 4

Integração interior em x (passo a passo da integral):
  • Antiderivada em x de 6-x-2y (tratando y como constante) é 6x-\tfrac{1}{2}x^{2}-2yx, porque:
    • \int 6\,dx = 6x,
    • \int x\,dx = \tfrac{1}{2}x^{2},
    • \int 2y\,dx = 2y x.
  • Avaliando entre x=0 e x=6-2y:
\int_{x=0}^{6-2y} (6-x-2y)\,dx = \Big(6x-\tfrac{1}{2}x^{2}-2yx\Big)_{0}^{6-2y}.
  • Substituindo x=6-2y (chamar a=6-2y facilita):
6a-\tfrac{1}{2}a^{2}-2y a,
com a=6-2y. Calculando explicitamente:
a^{2}=(6-2y)^{2}=36-24y+4y^{2},
6a=36-12y,\qquad \tfrac{1}{2}a^{2}=18-12y+2y^{2},\qquad 2y a=12y-4y^{2}.
  • Então a expressão fica
(36-12y)-(18-12y+2y^{2})-(12y-4y^{2})=18-12y+2y^{2}.
  • Logo a integral interna reduziu a uma função só de y:
\int_{x=0}^{6-2y} (6-x-2y)\,dx = 18-12y+2y^{2}.

Passo 5

Integração exterior em y e cálculo final:
  • Agora integramos em y de 0 a 3:
\text{Volume}=\int_{0}^{3} \big(18-12y+2y^{2}\big)\,dy.
  • Antiderivada em y:
    • \int 18\,dy = 18y,
    • \int -12y\,dy = -6y^{2},
    • \int 2y^{2}\,dy = \tfrac{2}{3}y^{3}.
  • Avaliando entre 0 e 3:
\Big(18y-6y^{2}+\tfrac{2}{3}y^{3}\Big)_{0}^{3} = 18\cdot 3 -6\cdot 3^{2} + \tfrac{2}{3}\cdot 3^{3}.
  • Calculando cada termo:
18\cdot 3 =54,\qquad 6\cdot 3^{2}=6\cdot9=54,\qquad \tfrac{2}{3}\cdot 27=18.
  • Somando: 54-54+18=18.

Resposta

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