Determine o volume do sólido limitado superiormente pela superfície indicada e inferiormente pelo plano
sobre a região
.
, onde
é a região triangular limitada pelos eixos coordenados e pela reta
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se o volume do sólido que está entre a superfície
(face superior) e o plano (face inferior), sobre a região no plano . - A região
é o triângulo limitado pelos eixos , e pela reta . - Pontos de interseção com os eixos (obtidos da reta
): - com o eixo
(quando ): → ponto ; - com o eixo
(quando ): → ponto .
- com o eixo
- Logo os vértices de
são , e .
Passo 2
Conceito usado (aula rapidinha):
- O volume entre a superfície
e o plano sobre uma região do plano é dado pela integral dupla
- Aqui
. A interpretação: em cada ponto a altura do sólido é , e somando (integrando) essas alturas sobre obtemos o volume.
Passo 3
Escolha das coordenadas e limites de integração:
- Descrevemos
por desigualdades: , e . - É conveniente integrar primeiro em
: para um dado com temos . - Portanto podemos escrever a integral como
Passo 4
Integração interior em
(passo a passo da integral):
- Antiderivada em
de (tratando como constante) é , porque: -
, -
, -
.
-
- Avaliando entre
e :
- Substituindo
(chamar facilita):
com
. Calculando explicitamente:
- Então a expressão fica
- Logo a integral interna reduziu a uma função só de
:
Passo 5
Integração exterior em
e cálculo final:
- Agora integramos em
de a :
- Antiderivada em
: -
, -
, -
.
-
- Avaliando entre
e :
- Calculando cada termo:
- Somando:
.