Determine whether the given subset of the complex numbers is a subgroup of the group \mathbb{C} of complex numbers under addition.
\mathbb{R}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • O grupo ambiente é (\mathbb{C},+), ou seja, os números complexos com a operação de adição.
  • O subconjunto dado é \mathbb{R}, visto como subconjunto de \mathbb{C} (números complexos com parte imaginária nula).
  • A pergunta: determinar se \mathbb{R} é um subgrupo de (\mathbb{C},+).

Passo 2

Lembrete didático: definição prática de subgrupo em um grupo abeliano sob adição.
  • Para um subconjunto H\subseteq G onde G é um grupo com operação +, H é subgrupo se e somente se:
    1. H contém o elemento neutro de G (no caso aditivo, o neutro é 0);
    2. H é fechado sob soma: se x,y\in H então x+y\in H;
    3. H é fechado sob inverso aditivo: se x\in H então -x\in H.
  • Uma forma equivalente e mais econômica (muito usada em provas) é testar que H é não-vazio e fechado sob subtração: se x,y\in H então x-y\in H. Isso garante os três itens acima automaticamente para grupos aditivos.
Vou usar essas ideias para verificar \mathbb{R}.

Passo 3

Verificar que \mathbb{R} contém o elemento neutro de (\mathbb{C},+).
  • O elemento neutro de (\mathbb{C},+) é 0 (que, como complexo, é 0+0i).
  • Como número real, 0\in\mathbb{R}.
  • Logo, \mathbb{R} contém o neutro.

Passo 4

Verificar fechamento sob soma: se a,b\in\mathbb{R} então a+b\in\mathbb{R}.
  • Por definição de número real, a e b têm parte imaginária 0; como complexos a=a+0i e b=b+0i.
  • A soma é (a+0i)+(b+0i)=(a+b)+0i.
  • A parte imaginária da soma continua 0, portanto (a+b) é um real.
  • Conclusão: a+b\in\mathbb{R}. Assim \mathbb{R} é fechado sob adição.

Passo 5

Verificar fechamento sob inversos aditivos: se a\in\mathbb{R} então -a\in\mathbb{R}.
  • Para a\in\mathbb{R} temos a=a+0i.
  • O inverso aditivo é -a = (-a)+0i, cuja parte imaginária é 0.
  • Portanto -a\in\mathbb{R}.

Passo 6

Verificação alternativa (fechamento por subtração), rápida e direta:
  • Se a,b\in\mathbb{R} então, pelos passos anteriores, a-b=a+(-b) é soma de reais, logo a-b\in\mathbb{R}.
  • Isso confirma a condição equivalente de subgrupo: não-vazio e fechado sob subtração.

Passo 7

Conclusão e intuição rápida:
  • Encontramos 0\in\mathbb{R}, \mathbb{R} é fechado sob soma e contém os inversos aditivos. Portanto \mathbb{R} satisfaz as condições para ser subgrupo de (\mathbb{C},+).
  • Intuitivamente: os reais são exatamente os complexos com parte imaginária zero, e somar ou trocar sinal de tais números não cria parte imaginária — por isso permanecem no subconjunto.

Resposta

Sim: \mathbb{R} é um subgrupo de (\mathbb{C},+).

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