Determine whether the given subset of the complex numbers is a subgroup of the group
of complex numbers under addition.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- O grupo ambiente é
, ou seja, os números complexos com a operação de adição. - O subconjunto dado é
, visto como subconjunto de (números complexos com parte imaginária nula). - A pergunta: determinar se
é um subgrupo de .
Passo 2
Lembrete didático: definição prática de subgrupo em um grupo abeliano sob adição.
- Para um subconjunto
onde é um grupo com operação , é subgrupo se e somente se: -
contém o elemento neutro de (no caso aditivo, o neutro é ); -
é fechado sob soma: se então ; -
é fechado sob inverso aditivo: se então .
-
- Uma forma equivalente e mais econômica (muito usada em provas) é testar que
é não-vazio e fechado sob subtração: se então . Isso garante os três itens acima automaticamente para grupos aditivos.
Vou usar essas ideias para verificar
.
Passo 3
Verificar que
contém o elemento neutro de
.
- O elemento neutro de
é (que, como complexo, é ). - Como número real,
. - Logo,
contém o neutro.
Passo 4
Verificar fechamento sob soma: se
então
.
- Por definição de número real,
e têm parte imaginária ; como complexos e . - A soma é
. - A parte imaginária da soma continua
, portanto é um real. - Conclusão:
. Assim é fechado sob adição.
Passo 5
Verificar fechamento sob inversos aditivos: se
então
.
- Para
temos . - O inverso aditivo é
, cuja parte imaginária é . - Portanto
.
Passo 6
Verificação alternativa (fechamento por subtração), rápida e direta:
- Se
então, pelos passos anteriores, é soma de reais, logo . - Isso confirma a condição equivalente de subgrupo: não-vazio e fechado sob subtração.
Passo 7
Conclusão e intuição rápida:
- Encontramos
, é fechado sob soma e contém os inversos aditivos. Portanto satisfaz as condições para ser subgrupo de . - Intuitivamente: os reais são exatamente os complexos com parte imaginária zero, e somar ou trocar sinal de tais números não cria parte imaginária — por isso permanecem no subconjunto.
Resposta
Sim:
é um subgrupo de
.