Determine whether the given subset of the complex numbers is a subgroup of the group \mathbb{C} of complex numbers under addition.
\mathbb{Q}^{+}

Passo 1

O enunciado pergunta se o subconjunto \mathbb{Q}^{+} é subgrupo do grupo \mathbb{C} (os números complexos) sob a operação de adição. As informações dadas são:
  • Grupo ambient: \mathbb{C} com a operação de adição.
  • Subconjunto a testar: \mathbb{Q}^{+}.
Uma observação importante: existe ambiguidade no símbolo \mathbb{Q}^{+}. Pode significar, dependendo da convenção:
  • (A) \mathbb{Q}^{+}=\{q\in\mathbb{Q} : q>0\} (racionais estritamente positivos), ou
  • (B) \mathbb{Q}^{+}=\{q\in\mathbb{Q} : q\ge 0\} (racionais não negativos).
Vou verificar ambas as interpretações (A) e (B), porque o enunciado não especificou qual usar.

Passo 2

Lembrete didático: quais condições um subconjunto H de um grupo abeliano (G,+) precisa satisfazer para ser subgrupo?
  • (i) H não pode ser vazio; em particular precisa conter o elemento neutro da operação de adição, que é 0.
  • (ii) Fechamento por soma: se x,y\in H então x+y\in H.
  • (iii) Fechamento por inversos aditivos: se x\in H então -x\in H.
Explicação rápida do porquê: um subgrupo precisa ser um grupo por si só com a mesma operação; para isso precisa ter o neutro 0, somas internas e inversos para cada elemento. Para grupos abelianos frequentemente basta checar que H é não vazio e fechado por diferenças (ou seja, se x,y\in H então x-y\in H), mas vou usar as três condições acima porque são claras e fáceis de testar.

Passo 3

Interpretação (A): suponha \mathbb{Q}^{+}=\{q\in\mathbb{Q}:q>0\} (racionais estritamente positivos).
  • Verificação do neutro: o neutro da adição é 0. Mas 0 não satisfaz 0>0. Logo 0\notin\mathbb{Q}^{+} sob esta interpretação. Assim a condição (i) falha imediatamente: o conjunto não contém o neutro, portanto não pode ser subgrupo.
  • Complemento (para aprendizado): mesmo que alguém perguntasse sobre fechamento por soma, a soma de dois racionais positivos é racional e positiva, então \mathbb{Q}^{+} é fechado por soma; porém a condição de inversos falha: por exemplo, 1\in\mathbb{Q}^{+} mas -1\notin\mathbb{Q}^{+}. Falha de inversos também impede ser subgrupo. Mas não precisamos de mais: a ausência de 0 já decide.

Passo 4

Interpretação (B): suponha \mathbb{Q}^{+}=\{q\in\mathbb{Q}:q\ge 0\} (racionais não negativos).
  • Verificação do neutro: agora 0\in\mathbb{Q}^{+}, então a condição (i) é satisfeita.
  • Fechamento por soma: se a,b\ge 0 então a+b\ge 0, e como soma de racionais é racional, a soma permanece em \mathbb{Q}^{+}. Então (ii) também é satisfeita.
  • Verificação de inversos: para ser subgrupo precisamos que, para todo x\in\mathbb{Q}^{+}, o inverso aditivo -x também pertença a \mathbb{Q}^{+}. Mas se pegarmos x=1 (que pertence a \mathbb{Q}^{+}), temos -1\not\ge 0, logo -1\notin\mathbb{Q}^{+}. Portanto a condição (iii) falha: nem todo elemento tem seu inverso em \mathbb{Q}^{+}. Assim, mesmo nesta interpretação, \mathbb{Q}^{+} não é subgrupo.

Passo 5

Resumo e intuição rápida: em (A) falta o elemento neutro 0. Em (B) falta fechar por inversos (existem elementos não nulos cujo inverso não está no conjunto). Em qualquer uma das convenções comuns para \mathbb{Q}^{+}, pelo menos uma das propriedades essenciais de subgrupo falha, então o conjunto não é subgrupo de \mathbb{C} sob adição.

Resposta

\mathbb{Q}^{+} não é um subgrupo de \mathbb{C} sob adição.

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