Determine whether the given subset of the complex numbers is a subgroup of the group
of complex numbers under addition.
Passo 1
O enunciado pergunta se o subconjunto
é subgrupo do grupo
(os números complexos) sob a operação de adição. As informações dadas são:
- Grupo ambient:
com a operação de adição. - Subconjunto a testar:
.
Uma observação importante: existe ambiguidade no símbolo
. Pode significar, dependendo da convenção:
- (A)
(racionais estritamente positivos), ou - (B)
(racionais não negativos).
Vou verificar ambas as interpretações (A) e (B), porque o enunciado não especificou qual usar.
Passo 2
Lembrete didático: quais condições um subconjunto
de um grupo abeliano
precisa satisfazer para ser subgrupo?
- (i)
não pode ser vazio; em particular precisa conter o elemento neutro da operação de adição, que é . - (ii) Fechamento por soma: se
então . - (iii) Fechamento por inversos aditivos: se
então .
Explicação rápida do porquê: um subgrupo precisa ser um grupo por si só com a mesma operação; para isso precisa ter o neutro
, somas internas e inversos para cada elemento. Para grupos abelianos frequentemente basta checar que
é não vazio e fechado por diferenças (ou seja, se
então
), mas vou usar as três condições acima porque são claras e fáceis de testar.
Passo 3
Interpretação (A): suponha
(racionais estritamente positivos).
-
Verificação do neutro: o neutro da adição é
. Mas não satisfaz . Logo sob esta interpretação. Assim a condição (i) falha imediatamente: o conjunto não contém o neutro, portanto não pode ser subgrupo. -
Complemento (para aprendizado): mesmo que alguém perguntasse sobre fechamento por soma, a soma de dois racionais positivos é racional e positiva, então
é fechado por soma; porém a condição de inversos falha: por exemplo, mas . Falha de inversos também impede ser subgrupo. Mas não precisamos de mais: a ausência de já decide.
Passo 4
Interpretação (B): suponha
(racionais não negativos).
-
Verificação do neutro: agora
, então a condição (i) é satisfeita. -
Fechamento por soma: se
então , e como soma de racionais é racional, a soma permanece em . Então (ii) também é satisfeita. -
Verificação de inversos: para ser subgrupo precisamos que, para todo
, o inverso aditivo também pertença a . Mas se pegarmos (que pertence a ), temos , logo . Portanto a condição (iii) falha: nem todo elemento tem seu inverso em . Assim, mesmo nesta interpretação, não é subgrupo.
Passo 5
Resumo e intuição rápida: em (A) falta o elemento neutro
. Em (B) falta fechar por inversos (existem elementos não nulos cujo inverso não está no conjunto). Em qualquer uma das convenções comuns para
, pelo menos uma das propriedades essenciais de subgrupo falha, então o conjunto não é subgrupo de
sob adição.