No dia 1^{\underline{\mathrm{o}}} de dezembro, um menino propôs ao pai que lhe desse R \ 1,00$ e fosse, a cada dia, dobrando o valor da quantia diária até o dia 24 de dezembro. O filho usaria o dinheiro para comprar um presente de Natal para o pai. De quanto vai dispor o filho para comprar o presente?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede. As informações relevantes são:
  • No dia 1^{\underline{\mathrm{o}}} de dezembro o menino recebe \text{R\$ }1{,}00.
  • A cada dia seguinte o valor diário é o dobro do dia anterior (ou seja, dobra diariamente).
  • Esse processo vai até o dia 24 de dezembro, inclusive.
    O enunciado pergunta: de quanto vai dispor o filho, no total, para comprar o presente?

Passo 2

Identificar a sequência dos valores recebidos dia a dia. Se chamarmos a_k o valor recebido no k-ésimo dia (com k=1 para 1^{\underline{\mathrm{o}}} de dezembro), temos:
a_1 = 1,\qquad a_2 = 2,\qquad a_3 = 4,\qquad a_4 = 8,\\ \ldots
Essa sequência é uma progressão geométrica (PG), isto é, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante r. Aqui:
\text{primeiro termo } a = a_1 = 1,\qquad \text{razão } r = 2.ã
O número de termos é n=24 (um termo para cada dia de 1 a 24).

Passo 3

Relembrando a fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma PG (aula rápida e prática).
Se uma PG tem primeiro termo a e razão r com r\neq1, a soma dos n primeiros termos S_n é dada por:
S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}.
A demonstração curta (truque clássico): multiplica-se S_n por r e subtrai-se:
\begin{aligned} S_n &= a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1},\\\ rS_n &= ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + ar^n. \end{aligned}
Subtraindo a segunda equação da primeira:
S_n - rS_n = a - ar^n \quad\Rightarrow\quad S_n(1-r) = a(1-r^n).
Portanto, para r\neq1,
\boxed{S_n = a\frac{1-r^n}{1-r}.}
Essa é a fórmula que vamos usar.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: a=1, r=2 e n=24. Substituindo na fórmula:
S_{24} = 1\cdot\frac{1-2^{24}}{1-2} = \frac{1-2^{24}}{-1} = 2^{24}-1.
Essa expressão significa que o total em reais é \,2^{24}-1\, (em unidades de \text{R\$ }1{,}00).

Passo 5

Vamos calcular 2^{24} passo a passo (sem calculadora), usando que dobrar repetidamente é fácil de acompanhar:
\begin{aligned} 2^{10} &= 1024,\\\\ 2^{20} &= (2^{10})^2 = 1024^2 = 1\,048\,576,\\\\ 2^{24} &= 2^{20}\cdot 2^4 = 1\,048\,576 \times 16. \end{aligned}
Agora multiplicando 1\,048\,576 por 16 (que é 10+6 ou simplesmente quatro dobramentos):
\begin{aligned} 1\,048\,576\times 2 &= 2\,097\,152 \quad(=2^{21}),\\\\ 2\,097\,152\times 2 &= 4\,194\,304 \quad(=2^{22}),\\\\ 4\,194\,304\times 2 &= 8\,388\,608 \quad(=2^{23}),\\\\ 8\,388\,608\times 2 &= 16\,777\,216 \quad(=2^{24}). \end{aligned}
Logo,
2^{24}=16\,777\,216.

Passo 6

Voltando à soma:
S_{24}=2^{24}-1=16\,777\,216-1=16\,777\,215.
Portanto, em reais, o filho terá ao todo \text{R\$ }16\,777\,215{,}00.

Resposta

\text{R\$ }16\,777\,215{,}00

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