No dia
de dezembro, um menino propôs ao pai que lhe desse
1,00$ e fosse, a cada dia, dobrando o valor da quantia diária até o dia 24 de dezembro. O filho usaria o dinheiro para comprar um presente de Natal para o pai. De quanto vai dispor o filho para comprar o presente?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede. As informações relevantes são:
- No dia
de dezembro o menino recebe . - A cada dia seguinte o valor diário é o dobro do dia anterior (ou seja, dobra diariamente).
- Esse processo vai até o dia
de dezembro, inclusive.
O enunciado pergunta: de quanto vai dispor o filho, no total, para comprar o presente?
Passo 2
Identificar a sequência dos valores recebidos dia a dia. Se chamarmos
o valor recebido no
-ésimo dia (com
para
de dezembro), temos:
Essa sequência é uma progressão geométrica (PG), isto é, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante
. Aqui:
O número de termos é
(um termo para cada dia de
a
).
Passo 3
Relembrando a fórmula para a soma dos
primeiros termos de uma PG (aula rápida e prática).
Se uma PG tem primeiro termo e razão
com
, a soma dos
primeiros termos
é dada por:
Se uma PG tem primeiro termo
A demonstração curta (truque clássico): multiplica-se
por
e subtrai-se:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Portanto, para
,
Essa é a fórmula que vamos usar.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso:
,
e
. Substituindo na fórmula:
Essa expressão significa que o total em reais é
(em unidades de
).
Passo 5
Vamos calcular
passo a passo (sem calculadora), usando que dobrar repetidamente é fácil de acompanhar:
Agora multiplicando
por
(que é
ou simplesmente quatro dobramentos):
Logo,
Passo 6
Voltando à soma:
Portanto, em reais, o filho terá ao todo
.