Qual a diferença entre Série de Taylor e Série de Maclaurin?
Passo 1
O que o enunciado pergunta: “Qual a diferença entre Série de Taylor e Série de Maclaurin?”
Informação dada: nenhuma outra além da pergunta.
O objetivo aqui é explicar, passo a passo e de forma didática, o que é cada série, como se obtém e em que elas diferem na prática.
Informação dada: nenhuma outra além da pergunta.
O objetivo aqui é explicar, passo a passo e de forma didática, o que é cada série, como se obtém e em que elas diferem na prática.
Passo 2
Definição e fórmula geral da Série de Taylor (a explicação passo a passo).
A Série de Taylor de uma função em torno de um ponto
é uma soma de potências de
que aproxima
perto de
. A fórmula é:
A Série de Taylor de uma função
onde:
-
significa a derivada de ordem de avaliada em . Por exemplo, , , , etc.; -
é o fatorial de (por exemplo, ); -
é a potência que “centraliza” a expansão no ponto .
Interpretação prática: cada termo
é a contribuição polinomial de ordem
. Somando os termos crescentes em
obtemos polinômios cada vez melhores que aproximam
perto de
.
Passo 3
O que é a Série de Maclaurin?
A Série de Maclaurin é um caso especial da Série de Taylor obtido ao escolher o centro . Ou seja, basta substituir
na fórmula de Taylor:
A Série de Maclaurin é um caso especial da Série de Taylor obtido ao escolher o centro
Portanto, por definição, toda Série de Maclaurin é uma Série de Taylor centrada em
. É isso que, em essência, as diferencia: o ponto em que se calcula as derivadas (o centro da expansão).
Passo 4
Exemplo prático 1 — Maclaurin de
(passo a passo para aprender a fazer na prova).
- Calcular as derivadas em
: para vale para todo , então . - Substituir na fórmula de Maclaurin:
Observação útil: esse procedimento (calcular derivadas em
e formar os coeficientes
) é exatamente o que se faz para qualquer Maclaurin; a vantagem é que muitas funções têm derivadas simples em
.
Passo 5
Exemplo prático 2 — Taylor de
centrada em
(mostrar diferença de coeficientes).
- Para
tem-se . - A série de Taylor em torno de
é
Observação: embora ambas as séries representem a mesma função (porque
é muito bem comportada), os coeficientes e as potências são diferentes: Maclaurin usa potências de
, Taylor em
usa potências de
. Na prática, escolhe-se o centro
conforme o ponto onde se quer aproximar a função.
Passo 6
Exemplo prático 3 — Maclaurin de
e raio de convergência (como checar se a série vale).
- Derivadas levam à série conhecida:
- Importante: a Série de Maclaurin só converge (e só representa a função) dentro de certo raio — aqui
. Isso ilustra outra diferença prática: a convergência/validez da expansão depende do ponto central e da função. Por isso, sempre verifique o raio de convergência (por exemplo usando o teste da razão).
Passo 7
Resto (erro) da aproximação e quando a série realmente representa a função.
- Forma de Lagrange do resto (explicação didática): se
tem derivadas até a ordem em torno de , o erro ao truncar a série após termos é
para algum
entre
e
. Aqui
depende de
e não é geralmente conhecido, mas a fórmula permite estimar o erro se houver um limite para
no intervalo.
- Quando a série realmente “é” a função: se a série de Taylor converge para
numa vizinhança de , diz-se que é analítica em . Nem toda função infinitamente diferenciável é analítica; há exemplos (como funções com cauda exponencial suavemente cortada) que têm todas as derivadas nulas em mas não são iguais à sua série de Maclaurin.
Passo 8
Resumo prático — quando usar cada uma e checklist para provas (passo a passo para aplicar rápido na hora H):
- Regra simples: Taylor = expansão em torno de um ponto arbitrário
. Maclaurin = Taylor com . - Checklist para construir a série na prova:
- Escolher o centro
(se for Maclaurin, ). - Calcular
para até a ordem desejada. - Formar os termos
e somar. - Verificar o raio de convergência (teste da razão ou comparação).
- Estimar o erro com o resto
se precisar de precisão.
- Escolher o centro
Dica amiga: se a prova pede aproximação perto de
e as derivadas em
são simples, escolha Maclaurin (mais rápido). Se é perto de outro ponto
, faça Taylor em
.
Passo 9
Resumo final, direto e claro (para gravar na cabeça):
- A única diferença formal é o ponto onde a expansão é feita: Maclaurin usa
; Taylor usa um qualquer. - Em termos práticos aparecem diferenças nos coeficientes e no domínio de convergência; escolha o centro que torna os cálculos e a convergência mais convenientes.
Resposta
A Série de Maclaurin é o caso particular da Série de Taylor em que o centro é
; ou seja, Taylor é
e Maclaurin é