Diremos que os vetores \overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}, \overrightarrow{u_{3}} e \overrightarrow{u_{4}} determinam um simplexo (ou também chamado hiperpirâmide tetraedrica ou 5-cell) em \mathbb{R}^{4} quando existem constantes reais a_{1}, a_{2}, a_{3} e a_{4} tais que o sistema linear
O enunciado dá a seguinte condição: quatro vetores \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}},\overrightarrow{u_{3}},\overrightarrow{u_{4}} em \mathbb{R}^{4} “determinam um simplexo” quando o sistema
O que o problema pede (implicitamente) é entender essa condição e saber como testá‑la na prática: quando essa igualdade só tem a solução trivial? Quais são as formas equivalentes de enunciar/testar essa propriedade e como verificar isso passo a passo numa prova?
Informações relevantes dadas:
Existem quatro vetores em \mathbb{R}^{4}.
A condição de interesse é que a combinação linear homogênea acima só admita a solução trivial.
Passo 2
Entender bem o que significa “só a solução trivial”: a expressão
é um sistema homogêneo. Dizer que só a solução trivial existe é exatamente a definição de linearmente independentes para o conjunto \{\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}},\overrightarrow{u_{3}},\overrightarrow{u_{4}}\}. Ou seja, a frase do enunciado é a definição de “os vetores são linearmente independentes”. Portanto, interpretar o enunciado como: verificar se os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Representação matricial: escreva os vetores como colunas de uma matriz U. Se
A questão torna‑se: quando esse sistema homogêneo tem apenas a solução a_1=a_2=a_3=a_4=0?]
Passo 4
Resultado teórico fundamental (explicado com calma): para uma matriz quadrada 4\times4 vale que o sistema homogêneo U\mathbf{a}=\mathbf{0} tem apenas a solução trivial se, e somente se, a matriz U é invertível (ou seja, existe U^{-1}). Uma condição equivalente e testável é que o determinante de U seja diferente de zero.
Explicação do porquê:
Se \det(U)\neq 0 então U é invertível. Multiplicando U\mathbf{a}=\mathbf{0} pela inversa obtém‑se \mathbf{a}=U^{-1}\mathbf{0}=\mathbf{0}. Logo só a solução trivial existe.
Reciprocamente, se o sistema homogêneo só tem a solução trivial, as colunas de U formam uma base de \mathbb{R}^4 e o posto de U é 4; uma matriz quadrada de posto máximo é invertível, portanto \det(U)\neq 0.
Portanto, ter a única solução trivial é exatamente a mesma coisa que \det(U)\neq 0.
Passo 5
Outro ponto de vista equivalente e prático na prova: posto (rank) e pivôs. A afirmação “só a solução trivial” é equivalente a “o posto de U é 4”. Como checar isso sem calcular determinante?
Faça eliminação de Gauss (redução por linhas) em U.
Se, após operar, aparecerem quatro pivôs (um pivô em cada linha/coluna principal), então o posto é 4 e os vetores são linearmente independentes.
Se faltar algum pivô (linha nula ou menos de quatro pivôs), então há infinitas soluções do homogêneo e os vetores são linearmente dependentes.
Dica prática: em prova é comum fazer eliminação de Gauss porque evita computar determinantes pesados. Se a matriz for feia, uma permutação de colunas (ou linhas) pode revelar pivôs mais claramente; lembrar que permutar colunas corresponde a reordenar os vetores (não muda independência).
Passo 6
Como calcular \det(U) sem erro na prova: métodos rápidos
Usar eliminação de Gauss por linhas até obter uma matriz triangular superior; o determinante é o produto dos elementos da diagonal (ajustando sinal se trocar linhas).
Se alguma linha ficar nula, \det(U)=0.
Para matrizes 4\times4 às vezes é prático expandir por Laplace se houver zeros suficientes numa linha ou coluna. Mas, regra geral, eliminação é mais rápida.
Exemplo pequeno (para fixar a ideia):
Se \overrightarrow{u_1}=(1,0,0,0)^T,\\ \overrightarrow{u_2}=(0,1,0,0)^T,\\ \overrightarrow{u_3}=(0,0,1,0)^T,\\ \overrightarrow{u_4}=(0,0,0,1)^T, então
U=I_{4}\quad\Rightarrow\quad\det(U)=1\neq0,
logo só a solução trivial existe (e eles determinam um simplexo).
Se, em vez disso, \overrightarrow{u_4}=(1,0,0,0)^T (igual a \overrightarrow{u_1}), então as colunas não são independentes, o posto é menor que 4 e \det(U)=0.
Passo 7
Procedimento passo a passo que eu usaria numa prova, bem mastigado:
Monte a matriz U com as colunas \overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2},\overrightarrow{u_3},\overrightarrow{u_4}.
Aplique eliminação de Gauss por linhas até obter forma escalonada. Sempre registre as operações (troca de linhas muda o sinal do determinante).
Conte o número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada).
Se houver 4 pivôs (posto 4), conclua que o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial e, portanto, os vetores determinam o simplexo. Se houver menos de 4 pivôs, conclua que são linearmente dependentes e não determinam o simplexo.
Alternativa: calcule \det(U) (via operações acima) e verifique se é diferente de zero.
Passo 8
Interpretação geométrica rápida para ajudar a fixar: em \mathbb{R}^{4} um conjunto de quatro vetores linearmente independentes forma uma base do espaço (podem gerar qualquer vetor em \mathbb{R}^{4}). A condição “só combinação trivial dá zero” impede que alguma coluna seja combinação linear das outras — geometricamente, evita colinearidades, planaridades, etc., em dimensões menores. Por isso essa independência é a condição natural para “determinar um simplexo” em \mathbb{R}^{4}.
Resposta
Os vetores \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}},\overrightarrow{u_{3}},\overrightarrow{u_{4}} determinam um simplexo em \mathbb{R}^{4} se, e somente se, são linearmente independentes; equivalentemente, se a matriz U formada por eles como colunas tem posto 4 ou, de forma prática, \det(U)\neq0.