Diremos que os vetores \overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}, \overrightarrow{u_{3}} e \overrightarrow{u_{4}} determinam um simplexo (ou também chamado hiperpirâmide tetraedrica ou 5-cell) em \mathbb{R}^{4} quando existem constantes reais a_{1}, a_{2}, a_{3} e a_{4} tais que o sistema linear
a_{1} \overrightarrow{u_{1}}+a_{2} \overrightarrow{u_{2}}+a_{3} \overrightarrow{u_{3}}+a_{4} \overrightarrow{u_{4}}=\overrightarrow{0}
admite apenas a solução trivial
a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=0

Passo 1

O enunciado dá a seguinte condição: quatro vetores \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}},\overrightarrow{u_{3}},\overrightarrow{u_{4}} em \mathbb{R}^{4} “determinam um simplexo” quando o sistema
a_{1}\overrightarrow{u_{1}}+a_{2}\overrightarrow{u_{2}}+a_{3}\overrightarrow{u_{3}}+a_{4}\overrightarrow{u_{4}}=\overrightarrow{0}
admite apenas a solução trivial
a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=0.
O que o problema pede (implicitamente) é entender essa condição e saber como testá‑la na prática: quando essa igualdade só tem a solução trivial? Quais são as formas equivalentes de enunciar/testar essa propriedade e como verificar isso passo a passo numa prova?
Informações relevantes dadas:
  • Existem quatro vetores em \mathbb{R}^{4}.
  • A condição de interesse é que a combinação linear homogênea acima só admita a solução trivial.

Passo 2

Entender bem o que significa “só a solução trivial”: a expressão
a_{1}\overrightarrow{u_{1}}+a_{2}\overrightarrow{u_{2}}+a_{3}\overrightarrow{u_{3}}+a_{4}\overrightarrow{u_{4}}=\overrightarrow{0}
é um sistema homogêneo. Dizer que só a solução trivial existe é exatamente a definição de linearmente independentes para o conjunto \{\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}},\overrightarrow{u_{3}},\overrightarrow{u_{4}}\}. Ou seja, a frase do enunciado é a definição de “os vetores são linearmente independentes”. Portanto, interpretar o enunciado como: verificar se os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Representação matricial: escreva os vetores como colunas de uma matriz U. Se
\overrightarrow{u_{j}}=\begin{pmatrix}u_{1j}\u_{2j}\u_{3j}\u_{4j}\end{pmatrix}\quad\text{para }j=1,2,3,4,
defina a matriz U por
U=\begin{pmatrix}\overrightarrow{u_{1}} & \overrightarrow{u_{2}} & \overrightarrow{u_{3}} & \overrightarrow{u_{4}}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14}\\[4pt] u_{21} & u_{22} & u_{23} & u_{24}\\[4pt] u_{31} & u_{32} & u_{33} & u_{34}\\[4pt] u_{41} & u_{42} & u_{43} & u_{44} \end{pmatrix}.
O sistema de combinações escalares fica, em forma matricial,
U\begin{pmatrix}a_{1}\\[4pt]a_{2}\\[4pt]a_{3}\\[4pt]a_{4}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
A questão torna‑se: quando esse sistema homogêneo tem apenas a solução a_1=a_2=a_3=a_4=0?]

Passo 4

Resultado teórico fundamental (explicado com calma): para uma matriz quadrada 4\times4 vale que o sistema homogêneo U\mathbf{a}=\mathbf{0} tem apenas a solução trivial se, e somente se, a matriz U é invertível (ou seja, existe U^{-1}). Uma condição equivalente e testável é que o determinante de U seja diferente de zero.
Explicação do porquê:
  • Se \det(U)\neq 0 então U é invertível. Multiplicando U\mathbf{a}=\mathbf{0} pela inversa obtém‑se \mathbf{a}=U^{-1}\mathbf{0}=\mathbf{0}. Logo só a solução trivial existe.
  • Reciprocamente, se o sistema homogêneo só tem a solução trivial, as colunas de U formam uma base de \mathbb{R}^4 e o posto de U é 4; uma matriz quadrada de posto máximo é invertível, portanto \det(U)\neq 0.
Portanto, ter a única solução trivial é exatamente a mesma coisa que \det(U)\neq 0.

Passo 5

Outro ponto de vista equivalente e prático na prova: posto (rank) e pivôs. A afirmação “só a solução trivial” é equivalente a “o posto de U é 4”. Como checar isso sem calcular determinante?
  • Faça eliminação de Gauss (redução por linhas) em U.
  • Se, após operar, aparecerem quatro pivôs (um pivô em cada linha/coluna principal), então o posto é 4 e os vetores são linearmente independentes.
  • Se faltar algum pivô (linha nula ou menos de quatro pivôs), então há infinitas soluções do homogêneo e os vetores são linearmente dependentes.
Dica prática: em prova é comum fazer eliminação de Gauss porque evita computar determinantes pesados. Se a matriz for feia, uma permutação de colunas (ou linhas) pode revelar pivôs mais claramente; lembrar que permutar colunas corresponde a reordenar os vetores (não muda independência).

Passo 6

Como calcular \det(U) sem erro na prova: métodos rápidos
  • Usar eliminação de Gauss por linhas até obter uma matriz triangular superior; o determinante é o produto dos elementos da diagonal (ajustando sinal se trocar linhas).
  • Se alguma linha ficar nula, \det(U)=0.
  • Para matrizes 4\times4 às vezes é prático expandir por Laplace se houver zeros suficientes numa linha ou coluna. Mas, regra geral, eliminação é mais rápida.
Exemplo pequeno (para fixar a ideia):
  • Se \overrightarrow{u_1}=(1,0,0,0)^T,\\ \overrightarrow{u_2}=(0,1,0,0)^T,\\ \overrightarrow{u_3}=(0,0,1,0)^T,\\ \overrightarrow{u_4}=(0,0,0,1)^T, então
U=I_{4}\quad\Rightarrow\quad\det(U)=1\neq0,
logo só a solução trivial existe (e eles determinam um simplexo).
  • Se, em vez disso, \overrightarrow{u_4}=(1,0,0,0)^T (igual a \overrightarrow{u_1}), então as colunas não são independentes, o posto é menor que 4 e \det(U)=0.

Passo 7

Procedimento passo a passo que eu usaria numa prova, bem mastigado:
  1. Monte a matriz U com as colunas \overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2},\overrightarrow{u_3},\overrightarrow{u_4}.
  2. Aplique eliminação de Gauss por linhas até obter forma escalonada. Sempre registre as operações (troca de linhas muda o sinal do determinante).
  3. Conte o número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada).
  4. Se houver 4 pivôs (posto 4), conclua que o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial e, portanto, os vetores determinam o simplexo. Se houver menos de 4 pivôs, conclua que são linearmente dependentes e não determinam o simplexo.
    Alternativa: calcule \det(U) (via operações acima) e verifique se é diferente de zero.

Passo 8

Interpretação geométrica rápida para ajudar a fixar: em \mathbb{R}^{4} um conjunto de quatro vetores linearmente independentes forma uma base do espaço (podem gerar qualquer vetor em \mathbb{R}^{4}). A condição “só combinação trivial dá zero” impede que alguma coluna seja combinação linear das outras — geometricamente, evita colinearidades, planaridades, etc., em dimensões menores. Por isso essa independência é a condição natural para “determinar um simplexo” em \mathbb{R}^{4}.

Resposta

Os vetores \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}},\overrightarrow{u_{3}},\overrightarrow{u_{4}} determinam um simplexo em \mathbb{R}^{4} se, e somente se, são linearmente independentes; equivalentemente, se a matriz U formada por eles como colunas tem posto 4 ou, de forma prática, \det(U)\neq0.

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