Discuta a estabilidade assintótica e BIBO dos sistemas LCIT descritos pelas seguintes funções de transferência, assumindo que elas representam a descrições internas do sistema.
H(s)=\frac{(s+5)}{\left(s^{2}-2 s+3\right)}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência interna do sistema
H(s)=\frac{(s+5)}{\left(s^{2}-2 s+3\right)}.
O que é pedido:
  • Discutir a estabilidade assintótica (estabilidade interna) do sistema descrito por H(s).
  • Discutir a estabilidade BIBO (bounded-input bounded-output) do mesmo sistema.
Informações relevantes fornecidas:
  • Numerador: s+5.
  • Denominador: s^{2}-2s+3.
  • Assume-se que H(s) descreve a dinâmica interna do sistema (isto é, os polos do denominador representam os modos internos).

Passo 2

Vamos encontrar os polos do sistema, que são as raízes do denominador. Resolvemos
s^{2}-2s+3=0.
Usando a fórmula quadrática:
s=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot3}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4-12}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-8}}{2}.
Como \sqrt{-8}=2\mathrm{j}\sqrt{2}, obtemos
s=1\pm \mathrm{j}\sqrt{2}.
Portanto os polos são s_{1}=1+\mathrm{j}\sqrt{2} e s_{2}=1-\mathrm{j}\sqrt{2}.

Passo 3

Agora interpretamos o significado desses polos para estabilidade assintótica interna.
Definição (resumida): para um sistema linear contínuo invariantes no tempo, a estabilidade assintótica (estabilidade interna) exige que todos os polos tenham parte real estritamente negativa. Aqui as partes reais dos polos são ambas iguais a 1, que é positiva. Logo os modos internos do sistema têm termos proporcionais a e^{t} multiplicados por senos/cossenos complexos, e esses modos crescem exponencialmente com o tempo.
Conclusão imediata: o sistema é internamente instável (não é assintoticamente estável) porque existem polos com parte real positiva.

Passo 4

Para ver isso de forma mais concreta, vamos obter a resposta ao impulso h(t) (inversa de Laplace), que evidencia o comportamento temporal. Observando o denominador podemos completar quadrado:
s^{2}-2s+3=(s-1)^{2}+2.
Escrevemos o numerador como
s+5=(s-1)+6.
Logo
H(s)=\frac{s-1}{(s-1)^{2}+(\sqrt{2})^{2}}+\frac{6}{(s-1)^{2}+(\sqrt{2})^{2}}.
Usamos transformadas clássicas:
  • \mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\dfrac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
  • \mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Comparando, o primeiro termo corresponde a e^{t}\cos(\sqrt{2}\,t). O segundo termo tem forma \dfrac{6}{(s-1)^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\dfrac{6}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{(s-1)^{2}+(\sqrt{2})^{2}}, então corresponde a \dfrac{6}{\sqrt{2}}\,e^{t}\sin(\sqrt{2}\,t). Simplificando \dfrac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}. Portanto, a resposta ao impulso causal é, para t\ge 0,
h(t)=e^{t}\bigl(\cos(\sqrt{2}\,t)+3\sqrt{2}\,\sin(\sqrt{2}\,t)\bigr).

Passo 5

Analisando h(t): há o fator exponencial e^{t} multiplicando uma combinação linear de funções periódicas (cosseno e seno), que é uma função limitada e não nula de forma geral. Como e^{t} cresce para +\infty quando t\to+\infty, a magnitude de h(t) também cresce exponencialmente (em pontos onde a combinação trigonométrica é não nula). Portanto h(t) não é absolutamente integrável:
\int_{0}^{\infty}|h(t)|\,\mathrm{d}t = \infty.
Definição (resumida): um sistema LTI causal é BIBO estável se e somente se sua resposta ao impulso h(t) for absolutamente integrável, equivalendo no caso de funções racionais causais a todos os polos terem parte real negativa.
Como os polos têm parte real positiva, e como h(t) diverge, concluímos que o sistema não é BIBO estável.

Passo 6

Comentário sobre o zero: há um zero em s=-5 (do numerador s+5). Zeros no semiplano esquerdo não podem “compensar” polos no semiplano direito a menos que haja cancelamento exato no modelo interno (o que não ocorre aqui, porque os polos problemáticos estão em 1\pm\mathrm{j}\sqrt{2} e não em -5). Mesmo se houvesse cancelamento exato, isso implicaria modelagem não realista (pólos internos cancelados por zeros no numerador significam modos internos ocultos) — mas nesse enunciado não há tal cancelamento. Portanto o zero em -5 não torna o sistema estável.

Resposta

O sistema é internamente (assintoticamente) instável.
O sistema não é BIBO estável.

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