Discuta a estabilidade assintótica e BIBO dos sistemas LCIT descritos pelas seguintes funções de transferência, assumindo que elas representam a descrições internas do sistema.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de transferência interna do sistema
O que é pedido:
- Discutir a estabilidade assintótica (estabilidade interna) do sistema descrito por
. - Discutir a estabilidade BIBO (bounded-input bounded-output) do mesmo sistema.
Informações relevantes fornecidas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Assume-se que
descreve a dinâmica interna do sistema (isto é, os polos do denominador representam os modos internos).
Passo 2
Vamos encontrar os polos do sistema, que são as raízes do denominador. Resolvemos
Usando a fórmula quadrática:
Como
, obtemos
Portanto os polos são
e
.
Passo 3
Agora interpretamos o significado desses polos para estabilidade assintótica interna.
Definição (resumida): para um sistema linear contínuo invariantes no tempo, a estabilidade assintótica (estabilidade interna) exige que todos os polos tenham parte real estritamente negativa. Aqui as partes reais dos polos são ambas iguais a
, que é positiva. Logo os modos internos do sistema têm termos proporcionais a
multiplicados por senos/cossenos complexos, e esses modos crescem exponencialmente com o tempo.
Conclusão imediata: o sistema é internamente instável (não é assintoticamente estável) porque existem polos com parte real positiva.
Passo 4
Para ver isso de forma mais concreta, vamos obter a resposta ao impulso
(inversa de Laplace), que evidencia o comportamento temporal. Observando o denominador podemos completar quadrado:
Escrevemos o numerador como
Logo
Usamos transformadas clássicas:
-
. -
.
Comparando, o primeiro termo corresponde a
. O segundo termo tem forma
, então corresponde a
. Simplificando
. Portanto, a resposta ao impulso causal é, para
,
Passo 5
Analisando
: há o fator exponencial
multiplicando uma combinação linear de funções periódicas (cosseno e seno), que é uma função limitada e não nula de forma geral. Como
cresce para
quando
, a magnitude de
também cresce exponencialmente (em pontos onde a combinação trigonométrica é não nula). Portanto
não é absolutamente integrável:
Definição (resumida): um sistema LTI causal é BIBO estável se e somente se sua resposta ao impulso
for absolutamente integrável, equivalendo no caso de funções racionais causais a todos os polos terem parte real negativa.
Como os polos têm parte real positiva, e como
diverge, concluímos que o sistema não é BIBO estável.
Passo 6
Comentário sobre o zero: há um zero em
(do numerador
). Zeros no semiplano esquerdo não podem “compensar” polos no semiplano direito a menos que haja cancelamento exato no modelo interno (o que não ocorre aqui, porque os polos problemáticos estão em
e não em
). Mesmo se houvesse cancelamento exato, isso implicaria modelagem não realista (pólos internos cancelados por zeros no numerador significam modos internos ocultos) — mas nesse enunciado não há tal cancelamento. Portanto o zero em
não torna o sistema estável.
Resposta
O sistema é internamente (assintoticamente) instável.
O sistema não é BIBO estável.
O sistema não é BIBO estável.