Dizemos que uma matriz quadrada
, é ortogonal se
, ou seja,
é ortogonal se
.
Mostre que se
e
são matrizes ortogonais,
, então o produto
é uma matriz ortogonal.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são matrizes quadradas . -
é ortogonal, ou seja . -
é ortogonal, ou seja .
O que o enunciado pede:
- Mostrar que o produto
é uma matriz ortogonal. Equivalentemente, provar uma (qualquer) das afirmações seguintes: -
, ou -
.
-
Passo 2
Vamos lembrar e provar uma propriedade básica sobre transposta que vamos usar: para matrizes compatíveis
e
vale
Explicação detalhada (elemento a elemento): se
é de tamanho
e
é de tamanho
, então o elemento
de
é
Tomando transposta, o elemento
de
é
, isto é
Mas esse somatório também é a definição do elemento
de
, porque
Como somas e produtos são comutativos em cada termo, as duas expressões coincidem termo a termo, logo
. Essa é uma regra usada sempre que transpusermos um produto.
Passo 3
Outra propriedade útil (sobre inversas) que usaremos é: se
e
são matrizes invertíveis, então
Justificativa simples: multiplique
por
:
e similarmente
. Assim
é a inversa de
, provando a propriedade.
Passo 4
Recordando a definição de ortogonal em forma de inversa:
ortogonal
. Como
e
são ortogonais, podemos usar essas igualdades:
Passo 5
Agora calculamos
usando a propriedade da transposta do Passo 2:
Portanto
Agrupando no produto (associatividade de multiplicação de matrizes) e usando que
(hipótese de ortogonalidade de
):
Como
é ortogonal,
. Logo
Passo 6
(Opcional — argumento alternativo usando inversas) Usando a propriedade das inversas do Passo 3 e que
,
, tem-se
o que também mostra diretamente que
, característica de matriz ortogonal.