Dizemos que uma matriz quadrada A, n \times n, é ortogonal se A A^{t}=A^{t} A=I_{n}, ou seja, A é ortogonal se A^{-1}=A^{t}.
Mostre que se A e B são matrizes ortogonais, n \times n, então o produto A B é uma matriz ortogonal.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A e B são matrizes quadradas n\times n.
  • A é ortogonal, ou seja A A^{t}=A^{t}A=I_{n}.
  • B é ortogonal, ou seja B B^{t}=B^{t}B=I_{n}.
O que o enunciado pede:
  • Mostrar que o produto AB é uma matriz ortogonal. Equivalentemente, provar uma (qualquer) das afirmações seguintes:
    • (AB)(AB)^{t}=I_{n}, ou
    • (AB)^{-1}=(AB)^{t}.

Passo 2

Vamos lembrar e provar uma propriedade básica sobre transposta que vamos usar: para matrizes compatíveis X e Y vale
(XY)^{t}=Y^{t}X^{t}.
Explicação detalhada (elemento a elemento): se X é de tamanho n\times m e Y é de tamanho m\times p, então o elemento (i,j) de XY é
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{m} X_{ik}Y_{kj}.
Tomando transposta, o elemento (j,i) de (XY)^{t} é (XY)_{ij}, isto é
\big((XY)^{t}\big)_{ji}=(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{m} X_{ik}Y_{kj}.
Mas esse somatório também é a definição do elemento (j,i) de Y^{t}X^{t}, porque
(Y^{t}X^{t})_{ji}=\sum_{k=1}^{m} (Y^{t})_{jk}(X^{t})_{ki}=\sum_{k=1}^{m} Y_{kj}X_{ik}.
Como somas e produtos são comutativos em cada termo, as duas expressões coincidem termo a termo, logo (XY)^{t}=Y^{t}X^{t}. Essa é uma regra usada sempre que transpusermos um produto.

Passo 3

Outra propriedade útil (sobre inversas) que usaremos é: se X e Y são matrizes invertíveis, então
(XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1}.
Justificativa simples: multiplique Y^{-1}X^{-1} por XY:
(Y^{-1}X^{-1})(XY)=Y^{-1}(X^{-1}X)Y=Y^{-1}IY=Y^{-1}Y=I,
e similarmente (XY)(Y^{-1}X^{-1})=I. Assim Y^{-1}X^{-1} é a inversa de XY, provando a propriedade.

Passo 4

Recordando a definição de ortogonal em forma de inversa: A ortogonal \iff A^{-1}=A^{t}. Como A e B são ortogonais, podemos usar essas igualdades:
A^{-1}=A^{t},\qquad B^{-1}=B^{t}.

Passo 5

Agora calculamos (AB)(AB)^{t} usando a propriedade da transposta do Passo 2:
(AB)^{t}=B^{t}A^{t}.
Portanto
(AB)(AB)^{t}=AB\big(B^{t}A^{t}\big).
Agrupando no produto (associatividade de multiplicação de matrizes) e usando que B B^{t}=I_{n} (hipótese de ortogonalidade de B):
AB\big(B^{t}A^{t}\big)=A\big(BB^{t}\big)A^{t}=A I_{n} A^{t}=A A^{t}.
Como A é ortogonal, A A^{t}=I_{n}. Logo
(AB)(AB)^{t}=I_{n}.

Passo 6

(Opcional — argumento alternativo usando inversas) Usando a propriedade das inversas do Passo 3 e que A^{-1}=A^{t}, B^{-1}=B^{t}, tem-se
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=B^{t}A^{t}=(AB)^{t},
o que também mostra diretamente que (AB)^{-1}=(AB)^{t}, característica de matriz ortogonal.

Resposta

AB é ortogonal.

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