1. Há dois anos a Companhia Alfa decidiu investir na implantação de uma nova unidade industrial. Foram gastos UM 500.000 em 2009 em ativos e UM 400.000 em 2010 em capital de giro, conforme a previsão feita, a qual considerava uma receita anual de UM 250.000, a partir de 2011, por cinco anos findos os quais o empreendimento foi vendido por UM 500.000 . A TMA da empresa é de 15 \% ao ano.
    Avalie e justifique se o empreendimento foi viável.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Gastos:
    • Em 2009: gasto de 500000 (UM) em ativos.
    • Em 2010: gasto de 400000 (UM) em capital de giro.
  • Receitas:
    • A partir de 2011, por cinco anos (ou seja, 2011–2015), receita anual de 250000 (UM) por ano.
    • Ao fim de 2015 o empreendimento foi vendido por 500000 (UM) (recebimento único no final de 2015).
  • Taxa mínima de atratividade (TMA): 0{,}15 ao ano.
O que o enunciado pede:
  • Avaliar e justificar se o empreendimento foi viável segundo a TMA indicada.

Passo 2

Escolha do método e explicação didática (o que vamos fazer e por quê).
  • Método: calcular o Valor Presente Líquido (VPL, também chamado de VAN). É o método padrão para avaliar projetos: desconta todos os fluxos de caixa ao valor presente usando a TMA e soma-os. Se o VPL for positivo, o projeto gera mais valor do que a taxa exigida e é viável; se for negativo, não é viável.
  • Fórmula geral do VPL: para fluxos de caixa CF_t em cada ano t, \text{VPL}=\sum_{t=0}^{n}\frac{CF_t}{(1+i)^t},onde:
    • CF_t é o fluxo de caixa no ano t (entrada positiva, saída negativa),
    • i é a TMA (a taxa de desconto),
    • t=0 é o ano de referência (aqui escolhemos 2009 como t=0).
  • Regra de decisão: se \text{VPL}>0 então o projeto é viável (aceitável); se \text{VPL}<0 não é viável.
Observação sobre a escolha do tempo de referência: escolhi t=0 = 2009 (ano do primeiro desembolso). Assim os demais fluxos serão colocados em termos de t=1 = 2010, t=2 = 2011, …, t=6 = 2015.

Passo 3

Montagem da linha do tempo e expressão matemática dos fluxos.
  • t=0 (2009): CF_0=-500000.
  • t=1 (2010): CF_1=-400000.
  • t=2 (2011): CF_2=+250000.
  • t=3 (2012): CF_3=+250000.
  • t=4 (2013): CF_4=+250000.
  • t=5 (2014): CF_5=+250000.
  • t=6 (2015): CF_6=+250000 (receita) + +500000 (venda) =+750000.
Portanto a fórmula do VPL fica
\text{VPL}=-500000-\frac{400000}{(1{,}15)^1}+\sum_{t=2}^{6}\frac{250000}{(1{,}15)^t}+\frac{500000}{(1{,}15)^6}.
Para simplificar os cálculos, agrupar as receitas de t=2 a t=6 como uma anuidade de 250000 por 5 anos mais o valor de venda em t=6.

Passo 4

Cálculo dos fatores de desconto (potências de 1{,}15) para usar nos pagamentos.
Calculemos (1{,}15)^n para n=1,\dots,6:
\begin{aligned} (1{,}15)^1 &= 1{,}15,\\[4pt] (1{,}15)^2 &= 1{,}3225,\\[4pt] (1{,}15)^3 &= 1{,}520875,\\[4pt] (1{,}15)^4 &= 1{,}74900625,\\[4pt] (1{,}15)^5 &= 2{,}0113571875,\\[4pt] (1{,}15)^6 &= 2{,}313060765625. \end{aligned}
Vou usar essas potências para descontar cada fluxo.]

Passo 5

Cálculo do valor presente das receitas anuais ( 250000 por ano de t=2 a t=6) — método com fórmula de anuidade atrasada.
  • Fórmula para o valor presente em t=0 de uma anuidade de valor A paga em t=2,\dots,t=6 (ou seja, 5 pagamentos começando em t=2) é PV_{\text{anuidade}}=A\cdot\frac{1-(1+i)^{-5}}{i(1+i)}.Explicando as partes:
    • A é o pagamento anual ( 250000),
    • i é a taxa ( 0{,}15),
    • o numerador 1-(1+i)^{-5} representa a soma geométrica descontada de 5 parcelas,
    • o fator 1/(1+i) adicional desloca a anuidade que começaria em t=1 para começar em t=2.
Substituindo números:
PV_{\text{anuidade}}=250000\cdot\frac{1-(1{,}15)^{-5}}{0{,}15\cdot1{,}15}.
Calculos intermediários:
(1{,}15)^5=2{,}0113571875\quad\Rightarrow\quad (1{,}15)^{-5}\approx0{,}497176.
1-(1{,}15)^{-5}\approx 1-0{,}497176=0{,}502824.
0{,}15\cdot1{,}15=0{,}1725.
\frac{1-(1{,}15)^{-5}}{0{,}15\cdot1{,}15}\approx\frac{0{,}502824}{0{,}1725}\approx2{,}91494.
PV_{\text{anuidade}}\approx250000\times2{,}91494\approx728735\\ (\text{UM}).
Portanto o valor presente, em 2009, das cinco receitas de 250000 é aproximadamente 728735 UM.

Passo 6

Cálculo do valor presente do preço de venda de 500000 recebido no final de 2015 ( t=6).
PV_{\text{venda}}=\frac{500000}{(1{,}15)^6}.
Usando (1{,}15)^6=2{,}313060765625,
PV_{\text{venda}}\approx\frac{500000}{2{,}313060765625}\approx216148\\ (\text{UM})\\ (\text{aprox.}).
(Detalhe: arredondei para o valor inteiro mais próximo; pequenas variações de unidade não mudam a conclusão.)

Passo 7

Cálculo do valor presente dos investimentos (saídas) e soma parcial.
  • Fluxo em t=0: CF_0=-500000 (já no tempo 0).
  • Fluxo em t=1: CF_1=-400000 descontado para t=0: \frac{-400000}{1{,}15}\approx -400000\times0{,}869565\approx -347826\\ (\text{UM}).
Soma das saídas em valor presente:
PV_{\text{saídas}}=-500000-347826\approx -847826\\ (\text{UM}).í

Passo 8

Somar tudo para obter o VPL e interpretar.
  • Soma dos valores presentes das receitas (anuidade + venda): PV_{\text{receitas}}\approx728735+216148=944883\\ (\text{UM}).
  • VPL total: \text{VPL}=PV_{\text{receitas}}+PV_{\text{saídas}}\approx944883-847826\approx97057\\ (\text{UM}).í
Interpretação: \text{VPL}\approx97057>0. Como o VPL é positivo, o projeto gerou valor acima da taxa mínima de 15\% ao ano. Portanto, segundo o critério do VPL, o empreendimento foi viável.

Passo 9

Comentários finais, confiança no resultado e incentivo.
  • Resultado prático: o projeto devolve, em valor presente, cerca de 97057 UM a mais do que o exigido pela TMA de 15\%. Isso é um ganho razoável — o projeto é aceitável.
  • Observação: pequenas diferenças de arredondamento nas potências de 1{,}15 mudariam o VPL por poucas centenas de unidades, mas não mudariam o sinal positivo. Se quiser, posso calcular também a TIR (taxa interna de retorno) para ver qual é a taxa que zera o VPL.
  • Força aí! Projetos com VPL positivo merecem atenção — e agora você tem a conta passo a passo para explicar na prova.

Resposta

Sim. \text{VPL}\approx97057 UM (aproximadamente), portanto o empreendimento foi viável.

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