Dois vetores, vec{r} e vec{s}, estão no plano x y. Seus módulos são 4,50 unidades e 7,30 unidades, respectivamente, e eles estão orientados a 320^{\circ} e 85,0^{\circ}, respectivamente, no sentido anti-horário em relação ao sentido positivo do eixo x.
Quais são os valores de vec{r} \cdot vec{s} ?

Passo 1

O enunciado fornece (peguei todos os dados do próprio enunciado):
  • Módulo do vetor \vec{r}: |\vec{r}| = 4,50.
  • Módulo do vetor \vec{s}: |\vec{s}| = 7,30.
  • Direção de \vec{r}: \theta_r = 320^\circ (medido no sentido anti-horário a partir do eixo +x).
  • Direção de \vec{s}: \theta_s = 85,0^\circ (medido no sentido anti-horário a partir do eixo +x).
O que o enunciado pede:
  • Calcular o produto escalar \vec{r}\cdot\vec{s}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (explicadas com calma):
  • Definição do produto escalar em coordenadas no plano: se \vec{r}=(r_x,r_y) e \vec{s}=(s_x,s_y), então
\vec{r}\cdot\vec{s}=r_x s_x + r_y s_y.
Aqui r_x e r_y são as componentes cartesianas de \vec{r} e s_x,s_y as de \vec{s}.
  • Relação entre módulo, ângulo e componentes: para um vetor com módulo |\vec{v}| e direção \theta (medida a partir do eixo +x):
v_x = |\vec{v}|\cos\theta,\qquad v_y = |\vec{v}|\sin\theta.
Explicando: \cos\theta dá a fração do módulo na direção x e \sin\theta a fração na direção y.
  • Fórmula geométrica do produto escalar (muito útil): se \varphi é o ângulo entre \vec{r} e \vec{s},
\vec{r}\cdot\vec{s}=|\vec{r}|\,|\vec{s}|\cos\varphi.
No nosso caso, como as direções são dadas por \theta_r e \theta_s medidas a partir do mesmo eixo, o ângulo entre eles é \varphi=\theta_r-\theta_s (pode ser tomada também a diferença com sinal; a função cosseno trata o sinal corretamente).
Vou usar ambas as ideias: primeiro a fórmula direta com o cosseno da diferença de ângulos (mais curta), e depois mostrar com componentes para confirmar.

Passo 3

Aplicando a fórmula com a diferença de ângulos:
  • Calcular a diferença de ângulos:
\varphi=\theta_r-\theta_s=320^\circ-85,0^\circ=235^\circ.
  • Calcular o produto dos módulos:
|\vec{r}|\,|\vec{s}| = 4,50\cdot 7,30 = 32,85.
  • Usar a identidade trigonométrica para simplificar \cos 235^\circ. Observando que 235^\circ=180^\circ+55^\circ,
\cos 235^\circ = \cos(180^\circ+55^\circ) = -\cos 55^\circ.
  • Valor numérico aproximado:
\cos 55^\circ \approx 0,573576436\quad\Rightarrow\quad \cos 235^\circ \approx -0,573576436.
  • Multiplicando:
\vec{r}\cdot\vec{s} \approx 32,85 \times (-0,573576436).

Passo 4

Realizando a multiplicação numérica (mostrando passo a passo):
  • Primeiro produto:
32,85 \times 0,573576436 \approx 18,84\\ (\text{aproximadamente}).
  • Como o cosseno é negativo, o produto escalar é negativo. Portanto o valor aproximado é -18,84.

Passo 5

Verificação por componentes (mesma resposta por outro caminho):
  • Componentes de \vec{r}:
r_x = 4,50\cos 320^\circ,\qquad r_y = 4,50\sin 320^\circ.
Como 320^\circ=360^\circ-40^\circ, temos \cos 320^\circ=\cos 40^\circ\approx 0,766044443 e \sin 320^\circ=-\sin 40^\circ\approx -0,642787610. Assim
r_x \approx 4,50\times 0,766044443 \approx 3,4472,
r_y \approx 4,50\times(-0,642787610) \approx -2,8925.
  • Componentes de \vec{s}:
s_x = 7,30\cos 85^\circ,\qquad s_y = 7,30\sin 85^\circ.
Valores numéricos: \cos 85^\circ\approx 0,087155743, \sin 85^\circ\approx 0,996194698. Assim
s_x \approx 7,30\times 0,087155743 \approx 0,6362,
s_y \approx 7,30\times 0,996194698 \approx 7,2722.
  • Produto escalar pelas componentes:
\vec{r}\cdot\vec{s}=r_x s_x + r_y s_y \approx 3,4472\times 0,6362 + (-2,8925)\times 7,2722.
Calculando:
3,4472\times 0,6362 \approx 2,193,\qquad (-2,8925)\times 7,2722 \approx -21,035,
2,193 + (-21,035) \approx -18,84.
Confere com o resultado obtido pela fórmula com cosseno da diferença.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo:
  • O produto escalar saiu negativo, o que faz sentido geometricamente: o ângulo entre os vetores é maior que 90^\circ (a diferença 235^\circ tem cosseno negativo), então os vetores têm componente oposta em parte e o produto escalar é negativo.
  • Bom trabalho chegando até aqui — com essas duas maneiras (fórmula direta e por componentes) já sabe aplicar em qualquer prova!

Resposta

-18,84

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