Dois vetores,
e
, estão no plano
. Seus módulos são 4,50 unidades e 7,30 unidades, respectivamente, e eles estão orientados a
e
, respectivamente, no sentido anti-horário em relação ao sentido positivo do eixo
.
Quais são os valores de
?
Quais são os valores de
Passo 1
O enunciado fornece (peguei todos os dados do próprio enunciado):
- Módulo do vetor
: . - Módulo do vetor
: . - Direção de
: (medido no sentido anti-horário a partir do eixo ). - Direção de
: (medido no sentido anti-horário a partir do eixo ).
O que o enunciado pede:
- Calcular o produto escalar
.
Passo 2
Conceitos e fórmulas úteis (explicadas com calma):
- Definição do produto escalar em coordenadas no plano: se
e , então
Aqui
e
são as componentes cartesianas de
e
as de
.
- Relação entre módulo, ângulo e componentes: para um vetor com módulo
e direção (medida a partir do eixo ):
Explicando:
dá a fração do módulo na direção
e
a fração na direção
.
- Fórmula geométrica do produto escalar (muito útil): se
é o ângulo entre e ,
No nosso caso, como as direções são dadas por
e
medidas a partir do mesmo eixo, o ângulo entre eles é
(pode ser tomada também a diferença com sinal; a função cosseno trata o sinal corretamente).
Vou usar ambas as ideias: primeiro a fórmula direta com o cosseno da diferença de ângulos (mais curta), e depois mostrar com componentes para confirmar.
Passo 3
Aplicando a fórmula com a diferença de ângulos:
- Calcular a diferença de ângulos:
- Calcular o produto dos módulos:
- Usar a identidade trigonométrica para simplificar
. Observando que ,
- Valor numérico aproximado:
- Multiplicando:
Passo 4
Realizando a multiplicação numérica (mostrando passo a passo):
- Primeiro produto:
- Como o cosseno é negativo, o produto escalar é negativo. Portanto o valor aproximado é
.
Passo 5
Verificação por componentes (mesma resposta por outro caminho):
- Componentes de
:
Como
, temos
e
. Assim
- Componentes de
:
Valores numéricos:
,
. Assim
- Produto escalar pelas componentes:
Calculando:
Confere com o resultado obtido pela fórmula com cosseno da diferença.
Passo 6
Interpretação curta e incentivo:
- O produto escalar saiu negativo, o que faz sentido geometricamente: o ângulo entre os vetores é maior que
(a diferença tem cosseno negativo), então os vetores têm componente oposta em parte e o produto escalar é negativo. - Bom trabalho chegando até aqui — com essas duas maneiras (fórmula direta e por componentes) já sabe aplicar em qualquer prova!