(Dorf, 2012) A corrente em um componente de um circuito é
para
e
0 para
. Determine a carga total que entra no componente para
. Sugestão: Considere
. Resposta:
Passo 1
O enunciado nos dá a corrente elétrica em um componente:
- Para
: . - Para
: .
A pergunta é: determinar a carga total que entra no componente para
, tomando
como sugerido. Ou seja, encontrar
para
.
Passo 2
Relacionamento fundamental entre corrente e carga: a corrente é a taxa de variação da carga. Isso significa que
Em palavras: se soubermos a corrente, podemos obter a carga integrando a corrente no tempo. Com a condição inicial
, a carga até o tempo
é a integral da corrente de
até
:
Aqui usei
como variável de integração para não confundir com o limite superior
.
Passo 3
Aplicando isso ao caso dado, como
,
Agora precisamos calcular essa integral. Lembrete da antiderivada útil: para uma constante
,
Isso vem do fato de que
; invertendo o sinal e dividindo por
obtemos a antiderivada.
Passo 4
Usando a fórmula com
e o fator
na frente da integral:
Agora avaliamos a integral definida de
a
:
Passo 5
Como
, a expressão fica
Ordenando os termos de forma mais usual:
Passo 6
Converter a fração para decimal (opcional, para comparar com a resposta sugerida):
. Assim
Podemos checar rapidamente: derivando
obtém-se
portanto está consistente com a corrente dada e com
.