(Dorf, 2012) A corrente em um componente de um circuito é i(t)=4 \operatorname{sen}(5 t) para t \geq 0 e i(t)= 0 para t<0. Determine a carga total que entra no componente para t \geq 0. Sugestão: Considere q(0)=0. Resposta: q(t)=0,8-0,8 \cos (5 t)

Passo 1

O enunciado nos dá a corrente elétrica em um componente:
  • Para t\geq 0: i(t)=4\sin(5t).
  • Para t<0: i(t)=0.
A pergunta é: determinar a carga total que entra no componente para t\geq 0, tomando q(0)=0 como sugerido. Ou seja, encontrar q(t) para t\geq 0.

Passo 2

Relacionamento fundamental entre corrente e carga: a corrente é a taxa de variação da carga. Isso significa que
i(t)=\frac{d q}{d t}.
Em palavras: se soubermos a corrente, podemos obter a carga integrando a corrente no tempo. Com a condição inicial q(0)=0, a carga até o tempo t é a integral da corrente de 0 até t:
q(t)=q(0)+\int_{0}^{t} i(\tau)\,d\tau.
Aqui usei \tau como variável de integração para não confundir com o limite superior t.

Passo 3

Aplicando isso ao caso dado, como q(0)=0,
q(t)=\int_{0}^{t} 4\sin(5\tau)\,d\tau.
Agora precisamos calcular essa integral. Lembrete da antiderivada útil: para uma constante a,
\int \sin(a x)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(a x) + C.
Isso vem do fato de que \frac{d}{dx}\cos(ax)=-a\sin(ax); invertendo o sinal e dividindo por a obtemos a antiderivada.

Passo 4

Usando a fórmula com a=5 e o fator 4 na frente da integral:
\int 4\sin(5\tau)\,d\tau = 4\left(-\frac{1}{5}\cos(5\tau)\right)+C = -\frac{4}{5}\cos(5\tau)+C.
Agora avaliamos a integral definida de 0 a t:
q(t)=\left[-\frac{4}{5}\cos(5\tau)\right]_{\tau=0}^{\tau=t} = -\frac{4}{5}\cos(5t) -\left(-\frac{4}{5}\cos(0)\right).

Passo 5

Como \cos(0)=1, a expressão fica
q(t)=-\frac{4}{5}\cos(5t)+\frac{4}{5}.
Ordenando os termos de forma mais usual:
q(t)=\frac{4}{5}-\frac{4}{5}\cos(5t).

Passo 6

Converter a fração para decimal (opcional, para comparar com a resposta sugerida): \dfrac{4}{5}=0,8. Assim
q(t)=0,8-0,8\cos(5t).
Podemos checar rapidamente: derivando q(t) obtém-se
\frac{d q}{d t}=0,8\cdot 5\sin(5t)=4\sin(5t)=i(t),
portanto está consistente com a corrente dada e com q(0)=0.

Resposta

q(t)=0,8-0,8\cos(5t)

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