Duas cargas pontuais q_{1}=+3 q e q_{2}=-2 q estão localizadas, respectivamente, nos pontos P_{1}=(0 ; 1,50 c m) e P_{2}=(0 ;-1,50 c m). Onde q=1,5 \mu C. Nestas condições, pede-se:
2. (0.6) o potencial elétrico na origem e no ponto P_{3}=(0 ; 2,0 c m);

Passo 1

O enunciado dá duas cargas puntiformes e pede os potenciais elétricos em dois pontos. Dados (peguei estes valores do enunciado):
  • q_{1}=+3q e q_{2}=-2q.
  • q=1,5\\ \mu\text{C}.
  • Posições: P_{1}=(0;1,50\\ \text{cm}), P_{2}=(0;-1,50\\ \text{cm}).
  • Pontos onde pediram o potencial:
    • origem: O=(0;0);
    • P_{3}=(0;2,0\\ \text{cm}).
O que se pede:
  • calcular o potencial elétrico em O;
  • calcular o potencial elétrico em P_{3}.

Passo 2

Fórmula e princípios que vamos usar (aula rápida, sem pular passos):
  • Potencial devido a uma carga pontual Q a uma distância r:
V=\dfrac{k\,Q}{r},
onde:
  • V é o potencial elétrico (em volts, V);
  • k é a constante eletrostática k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} (usarei k=8,99\times10^{9}\\ \text{N·m}^{2}\!/\text{C}^{2});
  • Q é a carga (em coulombs, C);
  • r é a distância entre a carga e o ponto onde se mede V (em metros, m).
  • Princípio da superposição: o potencial total é soma algébrica dos potenciais de cada carga:
V_{\text{total}}=\sum_{i} \dfrac{k\,Q_{i}}{r_{i}}.
Explicação curta: o potencial é escalar (não vetor), por isso soma-se com sinais (cargas negativas dão potenciais negativos).

Passo 3

Converter unidades e calcular as cargas numéricas:
  • q=1,5\\ \mu\text{C}=1,5\times10^{-6}\\ \text{C}.
  • Portanto q_{1}=3q=3\cdot(1,5\times10^{-6})=4,5\times10^{-6}\\ \text{C},
q_{2}=-2q=-2\cdot(1,5\times10^{-6})=-3,0\times10^{-6}\\ \text{C}.
Converter posições em metros:
  • 1,50\\ \text{cm}=0,015\\ \text{m}.
  • 2,0\\ \text{cm}=0,020\\ \text{m}.

Passo 4

Potencial no ponto origem O.
  • Distâncias do origin às cargas: r_{1}=\text{dist}(O,P_{1})=0,015\\ \text{m},\qquad r_{2}=\text{dist}(O,P_{2})=0,015\\ \text{m}.
  • Usando superposição: V(O)=k\!\left(\dfrac{q_{1}}{r_{1}}+\dfrac{q_{2}}{r_{2}}\right).
  • Substituindo valores: V(O)=8,99\times10^{9}\!\left(\dfrac{4,5\times10^{-6}}{0,015}+\dfrac{-3,0\times10^{-6}}{0,015}\right).
  • Simplificar dentro dos parênteses: \dfrac{4,5\times10^{-6}}{0,015}=\dfrac{4,5}{0,015}\times10^{-6}=300\times10^{-6}=3{,}0\times10^{-4},
\dfrac{-3,0\times10^{-6}}{0,015}=-2{,}0\times10^{-4}.
Soma: 3{,}0\times10^{-4}+(-2{,}0\times10^{-4})=1{,}0\times10^{-4}.
  • Portanto V(O)=8,99\times10^{9}\times1{,}0\times10^{-4}=8,99\times10^{5}\\ \text{V}.
Interpretação: o potencial no origin é positivo porque a carga total efetiva vista pelo ponto (ponderada por distâncias iguais) é positiva ( +3q-2q=+q).

Passo 5

Potencial no ponto P_{3}=(0;2{,}0\\ \text{cm}).
  • Calcular distâncias:
    • distância de P_{3} até P_{1} (ambos no eixo y): r_{1}=\lvert 2{,}0\\ \text{cm}-1{,}5\\ \text{cm}\rvert =0{,}5\\ \text{cm}=0,005\\ \text{m}.
    • distância de P_{3} até P_{2}: r_{2}=\lvert 2{,}0\\ \text{cm}-(-1{,}5\\ \text{cm})\rvert =3{,}5\\ \text{cm}=0,035\\ \text{m}.
  • Aplicar superposição: V(P_{3})=k\!\left(\dfrac{q_{1}}{r_{1}}+\dfrac{q_{2}}{r_{2}}\right).
  • Substituindo números: V(P_{3})=8,99\times10^{9}\!\left(\dfrac{4,5\times10^{-6}}{0,005}+\dfrac{-3,0\times10^{-6}}{0,035}\right).

Passo 6

Fazer as contas numéricas com cuidado (mostrar as etapas):
  • Primeiro termo: \dfrac{4,5\times10^{-6}}{0,005}=\dfrac{4{,}5}{5}\times10^{-6+3}=0{,}9\times10^{-3}=9{,}0\times10^{-4}.Multiplicando por k: k\cdot9{,}0\times10^{-4}=8,99\times10^{9}\times9{,}0\times10^{-4}=8{,}091\times10^{6}\\ \text{V}.
  • Segundo termo: \dfrac{-3{,}0\times10^{-6}}{0,035}=-\dfrac{3{,}0}{35}\times10^{-6+2}=-0{,}0857142857\times10^{-3}=-8{,}57142857\times10^{-5}.Multiplicando por k: k\cdot(-8{,}57142857\times10^{-5})\approx -8,99\times10^{9}\times8{,}57142857\times10^{-5}\approx -7,71485714\times10^{5}\\ \text{V}.
  • Somando os dois termos: V(P_{3})\approx 8{,}091\times10^{6}-7{,}71485714\times10^{5}=7{,}32042857\times10^{6}\\ \text{V}.
  • Arredondando de forma conveniente (3 algarismos significativos): V(P_{3})\approx 7{,}32\times10^{6}\\ \text{V}.

Passo 7

Pequena verificação de consistência e interpretação:
  • Em O as distâncias iguais deram um potencial proporcional à carga líquida q_{1}+q_{2}=+q, por isso V(O) é da ordem kq/r com r=1{,}5\\ \text{cm}.
  • Em P_{3} a carga q_{1} está bem mais próxima ( 0{,}5\\ \text{cm}), produzindo um potencial grande e positivo, enquanto q_{2} está mais distante ( 3{,}5\\ \text{cm}) e reduz um pouco esse potencial; o resultado continua positivo e muito maior do que em O.

Resposta

V(O)=8{,}99\times10^{5}\\ \text{V}
V(P_{3})=7{,}32\times10^{6}\\ \text{V}

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