Duas cargas pontuais
e
estão localizadas, respectivamente, nos pontos
e
. Onde
. Nestas condições, pede-se:
- (0.5) o desenho esquemático com as cargas e os pontos localizados no sistema de eixo xy;
2 . ( 0.5 ) o vetor campo elétrico no ponto
;
3. (0.5) com
no infinito, determine o potencial elétrico na origem, (
), e no ponto
;
4. (0.5) o trabalho realizado para trazer uma partícula
do ponto
até a origem do sistema de coordenadas;
5. (0.5) o vetor força que atua sobre uma partícula
colocada no ponto
?
6. (0.5) Determine a energia potencial da configuração para as três cargas localizadas, respectivamente, nos pontos
e
.
3. (0.5) com
4. (0.5) o trabalho realizado para trazer uma partícula
5. (0.5) o vetor força que atua sobre uma partícula
6. (0.5) Determine a energia potencial da configuração para as três cargas localizadas, respectivamente, nos pontos
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo retirado do enunciado).
- Cargas e posições:
-
em . -
em . -
. - Também aparece
e depois uma partícula adicional .
-
- Constantes e convenções:
- Potencial elétrico de referência
. - Usarei
.
- Potencial elétrico de referência
- O que é pedido (seis itens):
- Desenho esquemático com as cargas e pontos no sistema
. - Vetor campo elétrico
no ponto . - Potencial elétrico
na origem e em (com ). - Trabalho para trazer
de até a origem. - Vetor força sobre a partícula
colocada em . - Energia potencial da configuração das três cargas nos pontos
.
- Desenho esquemático com as cargas e pontos no sistema
Passo 2
Conceitos úteis e fórmulas (mini-aula rápida e sem pular etapas).
- Campo elétrico de uma carga pontual
em posição , no ponto : Aqui é o vetor que vai da carga até o ponto onde se calcula o campo; seu módulo é a distância , e dividir por dá direção (unitário) com intensidade . - Superposição do campo: campo total é soma vetorial das contribuições de cada carga.
- Potencial elétrico de uma carga pontual
(escalar) em um ponto a distância : com . Potenciais se somam escalarmente. - Energia potencial de um par de cargas
separadas por : Energia potencial total de três cargas é soma sobre os três pares: - Trabalho para mover carga
de A até B, por um agente externo lentamente (trabalho realizado pelo agente externo) é e a variação da energia potencial é . O trabalho realizado pelo campo seria .
Passo 3
Item 1 — desenho esquemático (descrição para desenhar corretamente no papel).
- Marcar eixos
(horizontal) e (vertical). - Colocar
: está sobre o eixo positivo, a distância da origem. Indicar (sinal +). - Colocar
: está sobre o eixo positivo, a distância da origem. Indicar (sinal −). - Colocar
: esse ponto fica acima de , alinhado verticalmente com e horizontalmente com . Indicar ponto . - Observação intuitiva de forças/campos:
é positivo e está à esquerda em ; é negativo e está em . (Isto ajuda a visualizar direção do campo no ponto .)
Passo 4
Item 2 — calcular
em
. Vamos computar contribuição de cada carga e somar.
- Vetor posição de
é . - Para
em : - Vetor do carregador até o ponto:
. - Distância
. - Unidade na direção:
. - Campo devido a
: - Explicação: o campo aponta para +x porque a carga é positiva e o ponto está à direita dela.
- Vetor do carregador até o ponto:
- Para
em : - Vetor do carregador até o ponto:
. - Distância
. - Unidade:
. - Campo devido a
: - Explicação: como
é negativa, o campo aponta para a carga, isto é, para −y (da posição do ponto para baixo), e o sinal negativo aparece na componente .
- Vetor do carregador até o ponto:
- Soma vetorial:
- Interpretação: componente
positiva, componente negativa.
- Interpretação: componente
Passo 5
Item 3 — potencial elétrico
na origem
e em
.
- Potencial é escalar e soma das contribuições:
- Em
: - Distância até
(em ) é . - Distância até
(em ) é . - Portanto
- Simplificando:
- Distância até
- Em
: - Distância até
é . - Distância até
é . - Portanto
- Simplificando:
- Distância até
Passo 6
Item 4 — trabalho para trazer
de
até a origem.
- Usando a fórmula do passo 2 para trabalho do agente externo (quase-estático):
- Substituindo
, e : - Interpretação: esse é o trabalho que o agente externo precisa realizar para mover lentamente a carga
de à origem contra/ a favor do campo, dependendo dos sinais; a energia potencial do sistema aumenta em . O trabalho realizado pelo campo seria .
Passo 7
Item 5 — vetor força sobre a partícula
em
.
- Força eletrostática é
. - Já calculamos
. - Substituindo
: - Interpretação: força com componente positiva em
e componente negativa em .
Passo 8
Item 6 — energia potencial da configuração das três cargas (pares).
- Distâncias entre pares:
- Entre
e : - Entre
e : já usamos . - Entre
e : .
- Entre
- Produtos de cargas:
-
. -
. -
.
-
- Usando a fórmula da energia total:
- Simplificando as frações em comum
: - Se desejar, pode escrever combinando denominadores, mas a forma acima é clara e suficiente:
Resposta
- No sistema
: em ; em ; . -
. -
\newline . -
(trabalho realizado pelo agente externo ao mover de à origem). -
. -
.