Duas cargas pontuais q_{1}=+3 q e q_{2}=-2 q estão localizadas, respectivamente, nos pontos P_{1}=(0 ; a) e P_{2}=(2 a ; 0). Onde q>0. Nestas condições, pede-se:
  1. (0.5) o desenho esquemático com as cargas e os pontos localizados no sistema de eixo xy;
2 . ( 0.5 ) o vetor campo elétrico no ponto P_{3}=(2 a ; a);
3. (0.5) com V=0 no infinito, determine o potencial elétrico na origem, ( 0 ; 0 ), e no ponto P_{3}=(2 a ; a);
4. (0.5) o trabalho realizado para trazer uma partícula q_{3}=+q do ponto P_{3} até a origem do sistema de coordenadas;
5. (0.5) o vetor força que atua sobre uma partícula q_{3} colocada no ponto P_{3} ?
6. (0.5) Determine a energia potencial da configuração para as três cargas localizadas, respectivamente, nos pontos P_{1}=(0 ; a), P_{2}=(2 a ; 0) e P_{3}=(2 a ; a).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo retirado do enunciado).
  • Cargas e posições:
    • q_{1}=+3q em P_{1}=(0,a).
    • q_{2}=-2q em P_{2}=(2a,0).
    • q>0.
    • Também aparece P_{3}=(2a,a) e depois uma partícula adicional q_{3}=+q.
  • Constantes e convenções:
    • Potencial elétrico de referência V(\infty)=0.
    • Usarei k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}.
  • O que é pedido (seis itens):
    1. Desenho esquemático com as cargas e pontos no sistema xy.
    2. Vetor campo elétrico \vec E no ponto P_{3}=(2a,a).
    3. Potencial elétrico V na origem (0,0) e em P_{3}=(2a,a) (com V(\infty)=0).
    4. Trabalho para trazer q_{3}=+q de P_{3} até a origem.
    5. Vetor força sobre a partícula q_{3} colocada em P_{3}.
    6. Energia potencial da configuração das três cargas nos pontos P_{1},P_{2},P_{3}.

Passo 2

Conceitos úteis e fórmulas (mini-aula rápida e sem pular etapas).
  • Campo elétrico de uma carga pontual Q em posição \vec r_Q, no ponto \vec r: \vec E(\vec r)=k\,Q\,\frac{\vec r-\vec r_Q}{|\vec r-\vec r_Q|^{3}}.Aqui \vec r-\vec r_Q é o vetor que vai da carga até o ponto onde se calcula o campo; seu módulo é a distância r, e dividir por r^{3} dá direção (unitário) com intensidade kQ/r^{2}.
  • Superposição do campo: campo total é soma vetorial das contribuições de cada carga.
  • Potencial elétrico de uma carga pontual Q (escalar) em um ponto a distância r: V(\vec r)=k\,\frac{Q}{r},com V(\infty)=0. Potenciais se somam escalarmente.
  • Energia potencial de um par de cargas Q_i,Q_j separadas por r_{ij}: U_{ij}=k\,\frac{Q_i Q_j}{r_{ij}}.Energia potencial total de três cargas é soma sobre os três pares: U_{\text{total}}=k\!\left(\frac{q_1 q_2}{r_{12}}+\frac{q_1 q_3}{r_{13}}+\frac{q_2 q_3}{r_{23}}\right).
  • Trabalho para mover carga q_3 de A até B, por um agente externo lentamente (trabalho realizado pelo agente externo) é W_{\text{ext}}=q_3\bigl[V(B)-V(A)\bigr],e a variação da energia potencial é \Delta U=q_3\bigl[V(B)-V(A)\bigr]. O trabalho realizado pelo campo seria -\Delta U.

Passo 3

Item 1 — desenho esquemático (descrição para desenhar corretamente no papel).
  • Marcar eixos x (horizontal) e y (vertical).
  • Colocar P_{1}=(0,a): está sobre o eixo y positivo, a distância a da origem. Indicar q_{1}=+3q (sinal +).
  • Colocar P_{2}=(2a,0): está sobre o eixo x positivo, a distância 2a da origem. Indicar q_{2}=-2q (sinal −).
  • Colocar P_{3}=(2a,a): esse ponto fica acima de P_2, alinhado verticalmente com x=2a e horizontalmente com y=a. Indicar ponto P_3.
  • Observação intuitiva de forças/campos: q_1 é positivo e está à esquerda em y=a; q_2 é negativo e está em x=2a. (Isto ajuda a visualizar direção do campo no ponto P_3.)

Passo 4

Item 2 — calcular \vec E em P_{3}=(2a,a). Vamos computar contribuição de cada carga e somar.
  • Vetor posição de P_3 é \vec r_{3}=(2a,a).
  • Para q_1 em \vec r_{1}=(0,a):
    • Vetor do carregador até o ponto: \vec r_{31}=\vec r_{3}-\vec r_{1}=(2a,a)-(0,a)=(2a,0).
    • Distância r_{31}=|\vec r_{31}|=2a.
    • Unidade na direção: \hat r_{31}=(1,0).
    • Campo devido a q_1=+3q: \vec E_{1}=k\frac{3q}{(2a)^{2}}\hat{\imath}=k\frac{3q}{4a^{2}}\hat{\imath}.
    • Explicação: o campo aponta para +x porque a carga é positiva e o ponto está à direita dela.
  • Para q_2 em \vec r_{2}=(2a,0):
    • Vetor do carregador até o ponto: \vec r_{32}=\vec r_{3}-\vec r_{2}=(2a,a)-(2a,0)=(0,a).
    • Distância r_{32}=a.
    • Unidade: \hat r_{32}=(0,1).
    • Campo devido a q_2=-2q: \vec E_{2}=k\frac{-2q}{a^{2}}\hat{\jmath}=-2k\frac{q}{a^{2}}\hat{\jmath}.
    • Explicação: como q_2 é negativa, o campo aponta para a carga, isto é, para −y (da posição do ponto para baixo), e o sinal negativo aparece na componente y.
  • Soma vetorial: \vec E(\,P_{3}\,)=\vec E_{1}+\vec E_{2}=k\frac{q}{a^{2}}\left(\frac{3}{4}\,\hat{\imath}-2\,\hat{\jmath}\right).
    • Interpretação: componente x positiva, componente y negativa.

Passo 5

Item 3 — potencial elétrico V na origem (0,0) e em P_{3}.
  • Potencial é escalar e soma das contribuições:
  • Em (0,0):
    • Distância até q_{1} (em (0,a)) é r_{1O}=a.
    • Distância até q_{2} (em (2a,0)) é r_{2O}=2a.
    • Portanto V(0,0)=k\!\left(\frac{3q}{a}+\frac{-2q}{2a}\right)=kq\!\left(\frac{3}{a}-\frac{1}{a}\right)=kq\frac{2}{a}.
    • Simplificando: V(0,0)=\frac{2kq}{a}.
  • Em P_{3}=(2a,a):
    • Distância até q_{1} é r_{13}=2a.
    • Distância até q_{2} é r_{23}=a.
    • Portanto V(P_{3})=k\!\left(\frac{3q}{2a}+\frac{-2q}{a}\right)=kq\!\left(\frac{3}{2a}-\frac{2}{a}\right)=kq\!\left(\frac{3-4}{2a}\right)=-\frac{kq}{2a}.
    • Simplificando: V(P_{3})=-\frac{kq}{2a}.

Passo 6

Item 4 — trabalho para trazer q_{3}=+q de P_{3} até a origem.
  • Usando a fórmula do passo 2 para trabalho do agente externo (quase-estático): W_{\text{ext}}=q_{3}\bigl[V(\text{origem})-V(P_{3})\bigr].
  • Substituindo q_{3}=q, V(\text{origem})=\dfrac{2kq}{a} e V(P_{3})=-\dfrac{kq}{2a}: W_{\text{ext}}=q\left(\frac{2kq}{a}-\left(-\frac{kq}{2a}\right)\right)=q\left(\frac{2kq}{a}+\frac{kq}{2a}\right)=q\cdot\frac{5kq}{2a}=\frac{5kq^{2}}{2a}.
  • Interpretação: esse é o trabalho que o agente externo precisa realizar para mover lentamente a carga +q de P_3 à origem contra/ a favor do campo, dependendo dos sinais; a energia potencial do sistema aumenta em \Delta U=W_{\text{ext}}=\dfrac{5kq^{2}}{2a}. O trabalho realizado pelo campo seria -\dfrac{5kq^{2}}{2a}.

Passo 7

Item 5 — vetor força sobre a partícula q_{3}=+q em P_{3}.
  • Força eletrostática é \vec F=q_{3}\,\vec E.
  • Já calculamos \vec E(P_{3})=k\frac{q}{a^{2}}\left(\dfrac{3}{4}\hat{\imath}-2\hat{\jmath}\right).
  • Substituindo q_{3}=q: \vec F(P_{3})=q\cdot k\frac{q}{a^{2}}\left(\frac{3}{4}\hat{\imath}-2\hat{\jmath}\right)=k\frac{q^{2}}{a^{2}}\left(\frac{3}{4}\hat{\imath}-2\hat{\jmath}\right).
  • Interpretação: força com componente positiva em x e componente negativa em y.

Passo 8

Item 6 — energia potencial da configuração das três cargas (pares).
  • Distâncias entre pares:
    • Entre q_1(0,a) e q_2(2a,0): r_{12}=\sqrt{(2a-0)^{2}+(0-a)^{2}}=\sqrt{4a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{5}.
    • Entre q_1(0,a) e q_3(2a,a): já usamos r_{13}=2a.
    • Entre q_2(2a,0) e q_3(2a,a): r_{23}=a.
  • Produtos de cargas:
    • q_1 q_2=(+3q)(-2q)=-6q^{2}.
    • q_1 q_3=(+3q)(+q)=3q^{2}.
    • q_2 q_3=(-2q)(+q)=-2q^{2}.
  • Usando a fórmula da energia total: U_{\text{total}}=k\!\left(\frac{q_1 q_2}{r_{12}}+\frac{q_1 q_3}{r_{13}}+\frac{q_2 q_3}{r_{23}}\right) =kq^{2}\!\left(\frac{-6}{a\sqrt{5}}+\frac{3}{2a}+\frac{-2}{a}\right).
  • Simplificando as frações em comum 1/a: U_{\text{total}}=\frac{kq^{2}}{a}\left(-\frac{6}{\sqrt{5}}+\frac{3}{2}-2\right) =\frac{kq^{2}}{a}\left(-\frac{6}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}\right).
  • Se desejar, pode escrever combinando denominadores, mas a forma acima é clara e suficiente: U_{\text{total}}=\frac{kq^{2}}{a}\!\left(-\frac{6}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}\right).

Resposta

  1. No sistema xy: q_{1}=+3q em (0,a); q_{2}=-2q em (2a,0); P_{3}=(2a,a).
  2. \displaystyle \vec E(P_{3})=k\frac{q}{a^{2}}\Bigl(\frac{3}{4}\,\hat{\imath}-2\,\hat{\jmath}\Bigr).
  3. \displaystyle V(0,0)=\frac{2kq}{a} \newline \displaystyle V(P_{3})=-\frac{kq}{2a}.
  4. \displaystyle W_{\text{ext}}= \frac{5kq^{2}}{2a} (trabalho realizado pelo agente externo ao mover q_{3} de P_{3} à origem).
  5. \displaystyle \vec F(P_{3})=k\frac{q^{2}}{a^{2}}\Bigl(\frac{3}{4}\,\hat{\imath}-2\,\hat{\jmath}\Bigr).
  6. \displaystyle U_{\text{total}}=\frac{kq^{2}}{a}\Bigl(-\frac{6}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}\Bigr).

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