Duas cordas (1) e (2) de densidade linear de massa \mu_{1} e \mu_{2}\left(\mu_{2}=4 \mu_{1}\right) são unidas nas suas extremidades. Na extremidade esquerda da corda (1) uma onda harmónica da frequência de 20 Hz e velocidade de propagação de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, é gerada, encontre o comprimento de onda da linha (2), a extremidade direita está presa a uma parede.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • A corda (1) tem densidade linear de massa \mu_{1}.
    • A corda (2) tem \mu_{2}=4\mu_{1}.
    • Na extremidade esquerda da corda (1) é gerada uma onda harmónica de frequência f=20\\ \mathrm{Hz}.
    • A velocidade de propagação na corda (1) é v_{1}=5\\ \mathrm{m/s}.
    • A extremidade direita da corda (2) está presa a uma parede (extremidade fixa).
  • O que é pedido:
    • Encontrar o comprimento de onda da corda (2), isto é \lambda_{2}.

Passo 2

Entender a relação entre velocidade de onda, tensão e densidade linear.
  • Em uma corda tensa a velocidade de propagação da onda depende da tensão T na corda e da densidade linear de massa \mu. A fórmula é
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}.
Aqui v é a velocidade da onda na corda, T é a tensão (força longitudinal) e \mu é a massa por unidade de comprimento da corda.
  • Como as duas cordas estão unidas sem quebra, a tensão T que age em ambas é (aproximadamente) a mesma: a mesma força de tração percorre as duas cordas. Então T é idêntica para (1) e (2).

Passo 3

Usar os dados da corda (1) para relacionar a tensão T com \mu_{1} e v_{1}.
  • Da fórmula \,v=\sqrt{T/\mu}\, para a corda (1) temos
v_{1}=\sqrt{\dfrac{T}{\mu_{1}}}.
  • Isolando T obtemos
T=\mu_{1} v_{1}^{2}.
  • Aqui estou simplesmente escrevendo a tensão em termos dos dados conhecidos \mu_{1} e v_{1}.

Passo 4

Encontrar a velocidade v_{2} na corda (2) usando a mesma tensão T e \mu_{2}.
  • Para a corda (2) vale
v_{2}=\sqrt{\dfrac{T}{\mu_{2}}}.
  • Substituindo T=\mu_{1}v_{1}^{2} obtemos
v_{2}=\sqrt{\dfrac{\mu_{1} v_{1}^{2}}{\mu_{2}}}=v_{1}\sqrt{\dfrac{\mu_{1}}{\mu_{2}}}.
  • Como \mu_{2}=4\mu_{1}, temos \dfrac{\mu_{1}}{\mu_{2}}=\dfrac{1}{4}. Portanto
v_{2}=v_{1}\sqrt{\dfrac{1}{4}}=v_{1}\cdot\dfrac{1}{2}.
  • Usando v_{1}=5\\ \mathrm{m/s} segue que
v_{2}=5\cdot\dfrac{1}{2}=2{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Ligar velocidade à frequência para achar o comprimento de onda \lambda_{2}.
  • Para uma onda harmónica a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda é
v=\lambda f,
onde v é a velocidade da onda, f é a frequência e \lambda é o comprimento de onda.
  • A frequência é a mesma nas duas cordas (a fonte impõe f), então para a corda (2) vale
\lambda_{2}=\dfrac{v_{2}}{f}.
  • Substituindo v_{2}=2{,}5\\ \mathrm{m/s} e f=20\\ \mathrm{Hz}
\lambda_{2}=\dfrac{2{,}5}{20}=0{,}125\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Comentário físico breve e motivador (útil para a prova).
  • A frequência não muda ao atravessar a junção, porque a oscilação imposta pela fonte tem um período fixo; o que muda é a velocidade (devido à diferente densidade) e, portanto, o comprimento de onda.
  • A extremidade fixa na parede reflete a onda com inversão de fase, gerando ondas refletidas em (2) que podem formar modos estacionários, mas isso não altera o comprimento de onda dos componentes harmónicos transmitidos. Você pode usar o resultado acima diretamente na prova.

Resposta

0,125\\ \mathrm{m}