Duas cordas (1) e (2) de densidade linear de massa
e
são unidas nas suas extremidades. Na extremidade esquerda da corda (1) uma onda harmónica da frequência de 20 Hz e velocidade de propagação de
, é gerada, encontre o comprimento de onda da linha (2), a extremidade direita está presa a uma parede.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- A corda (1) tem densidade linear de massa
. - A corda (2) tem
. - Na extremidade esquerda da corda (1) é gerada uma onda harmónica de frequência
. - A velocidade de propagação na corda (1) é
. - A extremidade direita da corda (2) está presa a uma parede (extremidade fixa).
- A corda (1) tem densidade linear de massa
- O que é pedido:
- Encontrar o comprimento de onda da corda (2), isto é
.
- Encontrar o comprimento de onda da corda (2), isto é
Passo 2
Entender a relação entre velocidade de onda, tensão e densidade linear.
- Em uma corda tensa a velocidade de propagação da onda depende da tensão
na corda e da densidade linear de massa . A fórmula é
Aqui
é a velocidade da onda na corda,
é a tensão (força longitudinal) e
é a massa por unidade de comprimento da corda.
- Como as duas cordas estão unidas sem quebra, a tensão
que age em ambas é (aproximadamente) a mesma: a mesma força de tração percorre as duas cordas. Então é idêntica para (1) e (2).
Passo 3
Usar os dados da corda (1) para relacionar a tensão
com
e
.
- Da fórmula
para a corda (1) temos
- Isolando
obtemos
- Aqui estou simplesmente escrevendo a tensão em termos dos dados conhecidos
e .
Passo 4
Encontrar a velocidade
na corda (2) usando a mesma tensão
e
.
- Para a corda (2) vale
- Substituindo
obtemos
- Como
, temos . Portanto
- Usando
segue que
Passo 5
Ligar velocidade à frequência para achar o comprimento de onda
.
- Para uma onda harmónica a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda é
onde
é a velocidade da onda,
é a frequência e
é o comprimento de onda.
- A frequência é a mesma nas duas cordas (a fonte impõe
), então para a corda (2) vale
- Substituindo
e dá
Passo 6
Comentário físico breve e motivador (útil para a prova).
- A frequência não muda ao atravessar a junção, porque a oscilação imposta pela fonte tem um período fixo; o que muda é a velocidade (devido à diferente densidade) e, portanto, o comprimento de onda.
- A extremidade fixa na parede reflete a onda com inversão de fase, gerando ondas refletidas em (2) que podem formar modos estacionários, mas isso não altera o comprimento de onda dos componentes harmónicos transmitidos. Você pode usar o resultado acima diretamente na prova.