Duas estrelas de nêutrons estão separadas pela distância centro-a-centro de 93,4 \mathrm{~km}. Cada uma tem massa de 1,5610^{30} \mathrm{~kg} e raio de 12,6 \mathrm{~km}. Elas estão inicialmente em repouso, uma em relação à outra. (a) A que velocidade elas estarão se movendo quando a separação entre elas houver diminuído até a metade do seu valor inicial? (b) A que velocidade elas estarão se movendo pouco antes de colidirem? Ignore efeitos relativísticos.

Passo 1

O enunciado nos dá dois objetos idênticos (duas estrelas de nêutrons) e pede velocidades em dois momentos diferentes. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
Dados:
  • Massa de cada estrela: m = 1{,}56\times10^{30}\\ \mathrm{kg}.
  • Raio de cada estrela: R = 12{,}6\\ \mathrm{km} = 12{,}600\\ \mathrm{m}.
  • Separação inicial centro-a-centro: r_i = 93{,}4\\ \mathrm{km} = 93{,}400\\ \mathrm{m}.
  • As estrelas estão inicialmente em repouso (velocidade relativa inicial nula).
  • Constante gravitacional: G = 6{,}67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}} (valor padrão).
O enunciado pede:
(a) A velocidade de cada estrela quando a separação tiver diminuído até a metade do valor inicial, isto é, quando r_f = \dfrac{r_i}{2}.
(b) A velocidade de cada estrela pouco antes de colidirem, isto é, quando a separação centro-a-centro for r_f = 2R.

Passo 2

Estratégia física (sem resolver ainda): usar conservação de energia mecânica.
Explicando a ideia passo a passo, sem pular etapas:
  • Energia potencial gravitacional entre duas massas puntiformes m_1 e m_2 separadas por distância r é dada por
U(r) = -\dfrac{G m_1 m_2}{r}.
Aqui G é a constante gravitacional, m_1 e m_2 são as massas, e r é a distância centro-a-centro. O sinal negativo indica que a energia é ligada (sistema ligado).
  • Se as duas estrelas começam em repouso (energia cinética inicial nula) e caem uma em direção à outra apenas pela atração gravitacional, a diminuição da energia potencial se transforma em energia cinética do sistema. Ignoramos perdas (radiação, maré, etc.), como pede o enunciado.
  • Para duas massas idênticas m_1=m_2=m que se movem simetricamente, é conveniente trabalhar no referencial do centro de massa. As duas massas têm a mesma velocidade relativa ao centro de massa, digamos v, e as energias cinéticas se somam:
K_{\text{total}} = 2\cdot\frac{1}{2} m v^2 = m v^2.
Aqui v é a velocidade de cada estrela em relação ao centro de massa.
  • Conservação de energia entre posição inicial r_i (repouso) e posição final r_f:
U(r_i) + 0 = U(r_f) + K_{\text{total}}.
Rearranjando,
K_{\text{total}} = U(r_i) - U(r_f) = -\dfrac{G m^2}{r_i} - \Big(-\dfrac{G m^2}{r_f}\Big) = G m^2\Big(\dfrac{1}{r_f} - \dfrac{1}{r_i}\Big).
  • Como K_{\text{total}} = m v^2, obtemos a fórmula para a velocidade de cada estrela:
v = \sqrt{G m \Big(\dfrac{1}{r_f} - \dfrac{1}{r_i}\Big)} .
Nesta fórmula:
  • v é a velocidade de cada estrela no referencial do centro de massa,
  • G é a constante gravitacional,
  • m é a massa de cada estrela,
  • r_i e r_f são as separações inicial e final centro-a-centro.
Comentário sobre o método: escolhi conservação de energia porque as estrelas partem do repouso e somente a força gravitacional está atuando; é o método mais direto e usa apenas conceitos básicos de energia, sem necessidade de tratar a dinâmica detalhada (equações de movimento).

Passo 3

Aplicando a fórmula geral ao item (a).
Para (a) temos r_f = r_i/2. Substituindo na fórmula:
v_a = \sqrt{G m \Big(\dfrac{1}{r_f} - \dfrac{1}{r_i}\Big)} = \sqrt{G m \Big(\dfrac{1}{r_i/2} - \dfrac{1}{r_i}\Big)} = \sqrt{G m \Big(\dfrac{2}{r_i} - \dfrac{1}{r_i}\Big)} = \sqrt{G m \cdot \dfrac{1}{r_i}}.
Observação prática: quando r_f = r_i/2 a diferença 1/r_f - 1/r_i simplifica para 1/r_i. Isso simplifica os cálculos.
Agora substituímos os valores numéricos (tudo em unidades SI):
G = 6{,}67430\times10^{-11},\qquad m = 1{,}56\times10^{30},\qquad r_i = 93{,}400\\ \mathrm{m}.
Calculando o produto G m:
G m = \bigl(6{,}67430\times10^{-11}\bigr)\bigl(1{,}56\times10^{30}\bigr) = 1{,}0411908\times10^{20}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}}.
Em seguida
v_a = \sqrt{\dfrac{1{,}0411908\times10^{20}}{93{,}400}}.
Dividindo:
\dfrac{1{,}0411908\times10^{20}}{93{,}400} \approx 1{,}11537\times10^{15}.
Tomando raiz quadrada:
v_a \approx \sqrt{1{,}11537\times10^{15}} \approx 3{,}34\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Podemos também obter a fração da velocidade da luz como verificação rápida:
c \approx 2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},\qquad \dfrac{v_a}{c}\approx 0{,}111\\ (\text{ou }11{,}1\%\,c).
(Isto serve só como checagem de ordem de grandeza; o enunciado pediu para ignorar efeitos relativísticos.)

Passo 4

Aplicando a fórmula geral ao item (b).
Para (b) a separação final é quando as superfícies se tocam, isto é
r_f = 2R = 2\times12{,}600\\ \mathrm{m} = 25{,}200\\ \mathrm{m}.
Usamos novamente
v_b = \sqrt{G m \Big(\dfrac{1}{r_f} - \dfrac{1}{r_i}\Big)}.
Substituindo os números (com G m calculado anteriormente):
\dfrac{1}{r_f} - \dfrac{1}{r_i} = \dfrac{1}{25{,}200} - \dfrac{1}{93{,}400} \approx 3{,}968253968\times10^{-5} - 1{,}0706639\times10^{-5} = 2{,}8975901\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Multiplicando por G m:
G m\Big(\dfrac{1}{r_f} - \dfrac{1}{r_i}\Big) \approx 1{,}0411908\times10^{20}\times2{,}8975901\times10^{-5} \approx 3{,}0169417\times10^{15}.
Tomando raiz quadrada:
v_b \approx \sqrt{3{,}0169417\times10^{15}} \approx 5{,}49\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Fração da velocidade da luz:
\dfrac{v_b}{c}\approx 0{,}183\\ (\text{ou }18{,}3\%\,c).
Novamente, isto é só checagem: a velocidade é alta mas ainda bem abaixo de c, então a aproximação newtoniana pedida no enunciado está razoavelmente válida.

Passo 5

Resumo rápido do raciocínio para memorização (útil para prova):
  • Use energia potencial gravitacional \,U(r)=-\dfrac{G m^2}{r}\,.
  • Diferença de energia potencial entre duas separações vai para energia cinética total m v^2 (para massas iguais).
  • Isolar v \displaystyle v=\sqrt{G m\Big(\dfrac{1}{r_f}-\dfrac{1}{r_i}\Big)}.
  • Substituir os valores e calcular com cuidado as unidades.

Resposta

(a) v \approx 3{,}34\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}
(b) v \approx 5{,}49\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}

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