Duas estrelas de nêutrons estão separadas pela distância centro-a-centro de
. Cada uma tem massa de
e raio de
. Elas estão inicialmente em repouso, uma em relação à outra. (a) A que velocidade elas estarão se movendo quando a separação entre elas houver diminuído até a metade do seu valor inicial? (b) A que velocidade elas estarão se movendo pouco antes de colidirem? Ignore efeitos relativísticos.
Passo 1
O enunciado nos dá dois objetos idênticos (duas estrelas de nêutrons) e pede velocidades em dois momentos diferentes. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
Dados:
- Massa de cada estrela:
. - Raio de cada estrela:
. - Separação inicial centro-a-centro:
. - As estrelas estão inicialmente em repouso (velocidade relativa inicial nula).
- Constante gravitacional:
(valor padrão).
O enunciado pede:
(a) A velocidade de cada estrela quando a separação tiver diminuído até a metade do valor inicial, isto é, quando .
(b) A velocidade de cada estrela pouco antes de colidirem, isto é, quando a separação centro-a-centro for .
(a) A velocidade de cada estrela quando a separação tiver diminuído até a metade do valor inicial, isto é, quando
(b) A velocidade de cada estrela pouco antes de colidirem, isto é, quando a separação centro-a-centro for
Passo 2
Estratégia física (sem resolver ainda): usar conservação de energia mecânica.
Explicando a ideia passo a passo, sem pular etapas:
Explicando a ideia passo a passo, sem pular etapas:
- Energia potencial gravitacional entre duas massas puntiformes
e separadas por distância é dada por
Aqui
é a constante gravitacional,
e
são as massas, e
é a distância centro-a-centro. O sinal negativo indica que a energia é ligada (sistema ligado).
-
Se as duas estrelas começam em repouso (energia cinética inicial nula) e caem uma em direção à outra apenas pela atração gravitacional, a diminuição da energia potencial se transforma em energia cinética do sistema. Ignoramos perdas (radiação, maré, etc.), como pede o enunciado.
-
Para duas massas idênticas
que se movem simetricamente, é conveniente trabalhar no referencial do centro de massa. As duas massas têm a mesma velocidade relativa ao centro de massa, digamos , e as energias cinéticas se somam:
Aqui
é a velocidade de cada estrela em relação ao centro de massa.
- Conservação de energia entre posição inicial
(repouso) e posição final :
Rearranjando,
- Como
, obtemos a fórmula para a velocidade de cada estrela:
Nesta fórmula:
-
é a velocidade de cada estrela no referencial do centro de massa, -
é a constante gravitacional, -
é a massa de cada estrela, -
e são as separações inicial e final centro-a-centro.
Comentário sobre o método: escolhi conservação de energia porque as estrelas partem do repouso e somente a força gravitacional está atuando; é o método mais direto e usa apenas conceitos básicos de energia, sem necessidade de tratar a dinâmica detalhada (equações de movimento).
Passo 3
Aplicando a fórmula geral ao item (a).
Para (a) temos
. Substituindo na fórmula:
Observação prática: quando
a diferença
simplifica para
. Isso simplifica os cálculos.
Agora substituímos os valores numéricos (tudo em unidades SI):
Calculando o produto
:
Em seguida
Dividindo:
Tomando raiz quadrada:
Podemos também obter a fração da velocidade da luz como verificação rápida:
(Isto serve só como checagem de ordem de grandeza; o enunciado pediu para ignorar efeitos relativísticos.)
Passo 4
Aplicando a fórmula geral ao item (b).
Para (b) a separação final é quando as superfícies se tocam, isto é
Usamos novamente
Substituindo os números (com
calculado anteriormente):
Multiplicando por
:
Tomando raiz quadrada:
Fração da velocidade da luz:
Novamente, isto é só checagem: a velocidade é alta mas ainda bem abaixo de
, então a aproximação newtoniana pedida no enunciado está razoavelmente válida.
Passo 5
Resumo rápido do raciocínio para memorização (útil para prova):
- Use energia potencial gravitacional
. - Diferença de energia potencial entre duas separações vai para energia cinética total
(para massas iguais). - Isolar
dá . - Substituir os valores e calcular com cuidado as unidades.
Resposta
(a)
(b)
(b)