Duas hastes de controle são conectadas à alavanca A B em A. Usando trigonometria e sabendo que a força na haste da direita é F_{2}= 80 N , determine (a) a força F_{1} requerida na haste da esquerda para que a resultante \mathbf{R} das forças exercidas pelas hastes na alavanca seja vertical, e (b) a intensidade correspondente de \mathbf{R}.

Passo 1

O enunciado nos diz apenas que duas hastes se ligam à alavanca em A e que a força na haste da direita vale F_{2}=80\\ \text{N}. Pede-se:
(a) a força F_{1} na haste da esquerda necessária para que a resultante \mathbf{R} das duas forças em A seja vertical;
(b) a intensidade (módulo) de \mathbf{R}.
Informações relevantes dadas:
  • F_{2}=80\\ \text{N}.
  • As duas forças atuam em A ao longo das hastes esquerda e direita.
Informação que falta e que é necessária para obter valores numéricos:
  • As direções (ângulos) das duas forças em relação a um eixo (por exemplo, o ângulo de cada haste em relação à vertical). Sem esses ângulos numéricos não é possível calcular valores numéricos para F_{1} e para R.
    Portanto vou derivar as fórmulas gerais (em função dos ângulos) e mostrar como obter os valores numéricos a partir delas; isso é exatamente o que se faria na prova quando a figura der os ângulos.

Passo 2

Escolhendo um sistema de referência simples e definindo os ângulos:
  • Adoto eixo x horizontal positivo para a direita e eixo y vertical positivo para cima.
  • Defino \alpha_{1} como o ângulo entre a força F_{1} (haste da esquerda) e a vertical, medido para fora (ou seja, a haste da esquerda forma um ângulo \alpha_{1} deslocada da vertical para a esquerda).
  • Defino \alpha_{2} como o ângulo entre a força F_{2} (haste da direita) e a vertical, medido para fora (haste da direita deslocada da vertical para a direita).
Com essa convenção:
  • A componente horizontal de F_{1} aponta para a esquerda (negativa): magnitude F_{1}\sin(\alpha_{1}), sinal -F_{1}\sin(\alpha_{1}).
  • A componente horizontal de F_{2} aponta para a direita (positiva): +F_{2}\sin(\alpha_{2}).
  • As componentes verticais apontam para cima (se as hastes puxam para cima) com magnitudes F_{1}\cos(\alpha_{1}) e F_{2}\cos(\alpha_{2}). (Se alguma força apontar para baixo, o mesmo método vale, só muda o sinal.)
Observação prática (mini-aula sobre decomposição vetorial):
  • Qualquer força F com ângulo \alpha em relação à vertical tem componente vertical F\cos(\alpha) e componente horizontal F\sin(\alpha). Isso vem da definição das funções trigonométricas num triângulo retângulo: o cateto adjacente ao ângulo (vertical) vale F\cos\alpha e o cateto oposto (horizontal) vale F\sin\alpha.

Passo 3

Condição para que a resultante \mathbf{R} seja vertical: a soma das componentes horizontais deve ser zero. Escrevendo isso:
-\,F_{1}\sin(\alpha_{1}) + F_{2}\sin(\alpha_{2}) = 0.
Isolando F_{1}:
F_{1}\sin(\alpha_{1}) = F_{2}\sin(\alpha_{2})
\boxed{\,F_{1} = F_{2}\,\dfrac{\sin(\alpha_{2})}{\sin(\alpha_{1})}\,}
Esta fórmula diz, em palavras, que para anular a resultante horizontal a componente horizontal da força esquerda tem de igualar a da direita; usamos a decomposição trigonométrica para escrever isso. Note que o sinal/ direção já foi tratado nas escolhas de sinal acima: F_{1} aqui é o módulo (valor positivo) que a haste da esquerda deve ter.

Passo 4

Agora a intensidade (módulo) da resultante \mathbf{R}: como as componentes horizontais se anulam, o módulo de \mathbf{R} é simplesmente a soma algébrica das componentes verticais (assumindo ambas para cima). Logo:
R = F_{1}\cos(\alpha_{1}) + F_{2}\cos(\alpha_{2}).
Substituindo F_{1} encontrado no passo anterior:
R = F_{2}\,\frac{\sin(\alpha_{2})}{\sin(\alpha_{1})}\cos(\alpha_{1}) + F_{2}\cos(\alpha_{2}).
Colocando F_{2} em evidência:
R = F_{2}\left(\frac{\sin(\alpha_{2})\cos(\alpha_{1})}{\sin(\alpha_{1})} + \cos(\alpha_{2})\right).
Aplicando a identidade trigonométrica de soma de ângulos \sin(\alpha_{1}+\alpha_{2})=\sin\alpha_{1}\cos\alpha_{2}+\cos\alpha_{1}\sin\alpha_{2}, podemos reescrever o numerador combinado e obter uma forma mais elegante. Fazendo as manipulações:
R = F_{2}\,\frac{\sin(\alpha_{2})\cos(\alpha_{1})+\cos(\alpha_{2})\sin(\alpha_{1})}{\sin(\alpha_{1})} = F_{2}\,\frac{\sin(\alpha_{1}+\alpha_{2})}{\sin(\alpha_{1})}.
Portanto:
\boxed{\,R = F_{2}\,\dfrac{\sin(\alpha_{1}+\alpha_{2})}{\sin(\alpha_{1})}\,}
Estas duas fórmulas juntas permitem calcular F_{1} e R assim que os ângulos \alpha_{1} e \alpha_{2} forem conhecidos.

Passo 5

Exemplo ilustrativo (apenas para ver como usar as fórmulas): suponha que as hastes formem ângulos iguais com a vertical, \alpha_{1}=\alpha_{2}=30^\circ. Então
  • Pela fórmula de F_{1}:
F_{1}=80\cdot\frac{\sin(30^\circ)}{\sin(30^\circ)}=80\\ \text{N}.
  • Pela fórmula de R:
R=80\cdot\frac{\sin(30^\circ+30^\circ)}{\sin(30^\circ)}=80\cdot\frac{\sin(60^\circ)}{\sin(30^\circ)} =80\cdot\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{1}{2}}=80\sqrt{3}\approx138{,}56\\ \text{N}.
Isto mostra concretamente como aplicar as fórmulas quando os ângulos são dados.

Resposta

(a) F_{1}=80\cdot\dfrac{\sin(\alpha_{2})}{\sin(\alpha_{1})}\\ \text{N}
(b) R=80\cdot\dfrac{\sin(\alpha_{1}+\alpha_{2})}{\sin(\alpha_{1})}\\ \text{N}

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