Duas hastes de controle são conectadas à alavanca
em
. Usando trigonometria e sabendo que a força na haste da direita é
80 N , determine (a) a força
requerida na haste da esquerda para que a resultante
das forças exercidas pelas hastes na alavanca seja vertical, e (b) a intensidade correspondente de
.
Passo 1
O enunciado nos diz apenas que duas hastes se ligam à alavanca em
e que a força na haste da direita vale
. Pede-se:
(a) a força na haste da esquerda necessária para que a resultante
das duas forças em
seja vertical;
(b) a intensidade (módulo) de .
(a) a força
(b) a intensidade (módulo) de
Informações relevantes dadas:
-
. - As duas forças atuam em
ao longo das hastes esquerda e direita.
Informação que falta e que é necessária para obter valores numéricos:
- As direções (ângulos) das duas forças em relação a um eixo (por exemplo, o ângulo de cada haste em relação à vertical). Sem esses ângulos numéricos não é possível calcular valores numéricos para
e para .
Portanto vou derivar as fórmulas gerais (em função dos ângulos) e mostrar como obter os valores numéricos a partir delas; isso é exatamente o que se faria na prova quando a figura der os ângulos.
Passo 2
Escolhendo um sistema de referência simples e definindo os ângulos:
- Adoto eixo
horizontal positivo para a direita e eixo vertical positivo para cima. - Defino
como o ângulo entre a força (haste da esquerda) e a vertical, medido para fora (ou seja, a haste da esquerda forma um ângulo deslocada da vertical para a esquerda). - Defino
como o ângulo entre a força (haste da direita) e a vertical, medido para fora (haste da direita deslocada da vertical para a direita).
Com essa convenção:
- A componente horizontal de
aponta para a esquerda (negativa): magnitude , sinal . - A componente horizontal de
aponta para a direita (positiva): . - As componentes verticais apontam para cima (se as hastes puxam para cima) com magnitudes
e . (Se alguma força apontar para baixo, o mesmo método vale, só muda o sinal.)
Observação prática (mini-aula sobre decomposição vetorial):
- Qualquer força
com ângulo em relação à vertical tem componente vertical e componente horizontal . Isso vem da definição das funções trigonométricas num triângulo retângulo: o cateto adjacente ao ângulo (vertical) vale e o cateto oposto (horizontal) vale .
Passo 3
Condição para que a resultante
seja vertical: a soma das componentes horizontais deve ser zero. Escrevendo isso:
Isolando
:
Esta fórmula diz, em palavras, que para anular a resultante horizontal a componente horizontal da força esquerda tem de igualar a da direita; usamos a decomposição trigonométrica para escrever isso. Note que o sinal/ direção já foi tratado nas escolhas de sinal acima:
aqui é o módulo (valor positivo) que a haste da esquerda deve ter.
Passo 4
Agora a intensidade (módulo) da resultante
: como as componentes horizontais se anulam, o módulo de
é simplesmente a soma algébrica das componentes verticais (assumindo ambas para cima). Logo:
Substituindo
encontrado no passo anterior:
Colocando
em evidência:
Aplicando a identidade trigonométrica de soma de ângulos
, podemos reescrever o numerador combinado e obter uma forma mais elegante. Fazendo as manipulações:
Portanto:
Estas duas fórmulas juntas permitem calcular
e
assim que os ângulos
e
forem conhecidos.
Passo 5
Exemplo ilustrativo (apenas para ver como usar as fórmulas): suponha que as hastes formem ângulos iguais com a vertical,
. Então
- Pela fórmula de
:
- Pela fórmula de
:
Isto mostra concretamente como aplicar as fórmulas quando os ângulos são dados.
Resposta
(a)
(b)