Duas ondas se propagam em sentidos opostos ao longo de uma corda fixada em ambas as extremidades, criando uma onda estacionária descrita por
. A corda possui uma densidade linear de massa de
, e a tensão da corda deve-se a uma massa pendurada em uma das suas extremidades. Se a corda vibra em seu terceiro harmônico, determine (a) o comprimento da corda, (b) a velocidade das ondas e (c) a massa pendurada.
Passo 1
O enunciado dá a forma da onda estacionária e alguns parâmetros; vou listar tudo para ficar claro o que temos e o que é pedido.
- A onda estacionária é
. - Da parte espacial
extraímos o número de onda . - Da parte temporal
extraímos a pulsação .
- Da parte espacial
- A densidade linear de massa da corda é
. - A tensão na corda vem de uma massa pendurada numa extremidade (tensão
). - A corda vibra no terceiro harmônico do sistema (terceiro modo).
O que o exercício pede:
(a) o comprimento da corda ;
(b) a velocidade das ondas ao longo da corda;
(c) a massa pendurada que produz a tensão.
(a) o comprimento da corda
(b) a velocidade das ondas
(c) a massa pendurada
Passo 2
Identificar
e
na expressão da onda e explicar o que são.
- A forma padrão de uma onda estacionária fixa é
, onde: -
é o número de onda (unidade: ), e relaciona-se com o comprimento de onda por . -
é a pulsação angular (unidade: ), e relaciona-se com a frequência por .
-
- Comparando com
obtemos:
Passo 3
Determinar o comprimento de onda
a partir de
e relacionar com o comprimento
da corda no terceiro harmônico.
-
A relação entre
e é Substituindo: Numericamente -
Para uma corda fixa em ambas as extremidades, os modos normais (harmônicos) satisfazemonde
é o número do harmônico (modo). Como a corda vibra no terceiro harmônico, . Portanto Numericamente
Passo 4
Determinar a velocidade das ondas
usando
e
.
-
A velocidade de fase (e a velocidade de propagação para as ondas que compõem a estacionária) é dada porSubstituindo os valores:
-
Comentário curto e intuitivo: isso também corresponderia a
, pois e , resultando na mesma razão .
Passo 5
Relacionar a velocidade com a tensão e a densidade linear para obter a tensão
.
- Para uma corda tensa a relação entre velocidade, tensão e densidade linear é
onde: -
é a velocidade das ondas (já encontrada), -
é a tensão na corda (força, em N), -
é a massa por unidade de comprimento (em ).
-
- Isolando
: Substituindo e :
Passo 6
Encontrar a massa pendurada
que produz a tensão
.
- A tensão vem de uma massa pendurada com peso
, portanto . - Isolando
: Usando (valor padrão) e :
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)