Duas ondas se propagam em sentidos opostos ao longo de uma corda fixada em ambas as extremidades, criando uma onda estacionária descrita por y(x, t)=0,01 \operatorname{sen}(25 x) \cos (1200 t). A corda possui uma densidade linear de massa de 0,01 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}, e a tensão da corda deve-se a uma massa pendurada em uma das suas extremidades. Se a corda vibra em seu terceiro harmônico, determine (a) o comprimento da corda, (b) a velocidade das ondas e (c) a massa pendurada.

Passo 1

O enunciado dá a forma da onda estacionária e alguns parâmetros; vou listar tudo para ficar claro o que temos e o que é pedido.
  • A onda estacionária é y(x,t)=0,01\sin(25x)\cos(1200t).
    • Da parte espacial \sin(25x) extraímos o número de onda k.
    • Da parte temporal \cos(1200t) extraímos a pulsação \omega.
  • A densidade linear de massa da corda é \mu=0,01\\ \mathrm{kg/m}.
  • A tensão na corda vem de uma massa pendurada numa extremidade (tensão T=m g).
  • A corda vibra no terceiro harmônico do sistema (terceiro modo).
O que o exercício pede:
(a) o comprimento da corda L;
(b) a velocidade das ondas v ao longo da corda;
(c) a massa pendurada m que produz a tensão.

Passo 2

Identificar k e \omega na expressão da onda e explicar o que são.
  • A forma padrão de uma onda estacionária fixa é y(x,t)=A\sin(kx)\cos(\omega t), onde:
    • k é o número de onda (unidade: \mathrm{rad/m}), e relaciona-se com o comprimento de onda \lambda por \,k=\dfrac{2\pi}{\lambda}\,.
    • \omega é a pulsação angular (unidade: \mathrm{rad/s}), e relaciona-se com a frequência f por \,\omega=2\pi f\,.
  • Comparando com y(x,t)=0,01\sin(25x)\cos(1200t) obtemos: k=25\\ \mathrm{rad/m},\qquad \omega=1200\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Determinar o comprimento de onda \lambda a partir de k e relacionar com o comprimento L da corda no terceiro harmônico.
  • A relação entre k e \lambda é
    \lambda=\frac{2\pi}{k}.
    Substituindo k=25:
    \lambda=\frac{2\pi}{25}.
    Numericamente
    \lambda\approx0,2513\\ \mathrm{m}.
  • Para uma corda fixa em ambas as extremidades, os modos normais (harmônicos) satisfazem
    L=\frac{n\lambda}{2},
    onde n é o número do harmônico (modo). Como a corda vibra no terceiro harmônico, n=3. Portanto
    L=\frac{3\lambda}{2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2\pi}{25}=\frac{3\pi}{25}.
    Numericamente
    L\approx0,377\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Determinar a velocidade das ondas v usando \omega e k.
  • A velocidade de fase (e a velocidade de propagação para as ondas que compõem a estacionária) é dada por
    v=\frac{\omega}{k}.
    Substituindo os valores:
    v=\frac{1200}{25}=48\\ \mathrm{m/s}.
  • Comentário curto e intuitivo: isso também corresponderia a v=f\lambda, pois f=\omega/(2\pi) e \lambda=2\pi/k, resultando na mesma razão \omega/k.

Passo 5

Relacionar a velocidade com a tensão e a densidade linear para obter a tensão T.
  • Para uma corda tensa a relação entre velocidade, tensão e densidade linear é v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},onde:
    • v é a velocidade das ondas (já encontrada),
    • T é a tensão na corda (força, em N),
    • \mu é a massa por unidade de comprimento (em \mathrm{kg/m}).
  • Isolando T: T=\mu v^2.Substituindo \mu=0,01\\ \mathrm{kg/m} e v=48\\ \mathrm{m/s}: T=0,01\times 48^2=0,01\times 2304=23,04\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Encontrar a massa pendurada m que produz a tensão T.
  • A tensão vem de uma massa pendurada com peso mg, portanto T=mg.
  • Isolando m: m=\frac{T}{g}.Usando g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão) e T=23,04\\ \mathrm{N}: m=\frac{23,04}{9,8}\approx2,35\\ \mathrm{kg}.

Resposta

(a) L=\dfrac{3\pi}{25}\approx0,377\\ \mathrm{m}
(b) v=48\\ \mathrm{m/s}
(c) m\approx2,35\\ \mathrm{kg}

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