2- Duas partículas idênticas, cada uma possuindo a mesma massa de repouso m_{0}, são emitidas na mesma direção e mesmo sentido. A primeira partícula possui momento linear relativístico dado por p_{1}=2 m_{0} c enquanto a segunda partícula possui momento linear relativístico p_{2}=3 m_{0} c.
a. Qual é a velocidade da partícula 2 quando observada a partir do referencial da partícula 1 ?
b. Qual é a energia total relativística da partícula 2 quando observada a partir do referencial da partícula 1? A resposta deve estar em função de m_{o} e c.

Passo 1

O enunciado dá duas partículas idênticas com massa de repouso \,m_{0}\, emitidas na mesma direção e mesmo sentido. As informações numéricas são:
  • momento da partícula 1: \,p_{1}=2\,m_{0}c\,,
  • momento da partícula 2: \,p_{2}=3\,m_{0}c\,.
O enunciado pede duas coisas:
a. A velocidade da partícula 2 vista no referencial da partícula 1 (ou seja, a velocidade relativa \,v_{2|1}\, de 2 em relação a 1).
b. A energia total relativística da partícula 2 observada no referencial da partícula 1, expressa em função de \,m_{0}\, e \,c.

Passo 2

Fórmulas úteis e explicação das grandezas (aula rápida):
  • O momento linear relativístico de uma partícula é \,p=\gamma m_{0} v\,, onde:
    • \,v\, é a velocidade da partícula no referencial considerado,
    • \,\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\, é o fator de Lorentz,
    • \,m_{0}\, é a massa de repouso e \,c\, a velocidade da luz.
  • A energia total relativística é \,E=\gamma m_{0} c^{2}\, e também satisfaz a relação de invariantes E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}.
Vou primeiro obter as velocidades das partículas no referencial do laboratório a partir dos momentos fornecidos.

Passo 3

Derivar expressão de v em função de p. Partindo de \,p=\gamma m_{0} v\, e \,\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\,:
p=\frac{m_{0} v}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.
Elevar ao quadrado:
p^{2}=\frac{m_{0}^{2} v^{2}}{1-v^{2}/c^{2}}.
Rearranjando para v^{2}:
p^{2}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)=m_{0}^{2}v^{2} \quad\Rightarrow\quad p^{2}=\frac{v^{2}}{c^{2}}(p^{2}+m_{0}^{2}c^{2}).
Logo
\frac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{p^{2}}{p^{2}+m_{0}^{2}c^{2}} \quad\Rightarrow\quad v=c\frac{p}{\sqrt{p^{2}+m_{0}^{2}c^{2}}}.
Agora aplico isso a cada partícula:
  • Para \,p_{1}=2m_{0}c,
v_{1}=c\frac{2m_{0}c}{\sqrt{(2m_{0}c)^{2}+m_{0}^{2}c^{2}}} = c\frac{2}{\sqrt{4+1}} = c\frac{2}{\sqrt{5}}.
  • Para \,p_{2}=3m_{0}c,
v_{2}=c\frac{3m_{0}c}{\sqrt{(3m_{0}c)^{2}+m_{0}^{2}c^{2}}} = c\frac{3}{\sqrt{9+1}} = c\frac{3}{\sqrt{10}}.
Para ter ideia numérica:
\,v_{1}\approx 0{,}8944\,c e \,v_{2}\approx 0{,}9487\,c.

Passo 4

Agora precisamos da velocidade de 2 no referencial de 1. A regra de adição de velocidades (transformação de velocidades entre referenciais inerciais em relatividade especial) para duas velocidades colineares é
v_{2|1}=\frac{v_{2}-v_{1}}{1-\dfrac{v_{1}v_{2}}{c^{2}}},
onde v_{2|1} é a velocidade de 2 medida no referencial que se move com velocidade v_{1} em relação ao laboratório.
Substituo as expressões encontradas para v_{1} e v_{2}. Primeiro calculo o produto adimensional \dfrac{v_{1}v_{2}}{c^{2}}:
\frac{v_{1}v_{2}}{c^{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}} =\frac{6}{\sqrt{50}}=\frac{6}{5\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{5}.
A diferença v_{2}-v_{1} pode ser escrita factorando c:
v_{2}-v_{1}=c\!\left(\frac{3}{\sqrt{10}}-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = c\frac{3-2\sqrt{2}}{\sqrt{10}}.
Agora aplicando a fórmula:
v_{2|1} = c\frac{\dfrac{3-2\sqrt{2}}{\sqrt{10}}}{1-\dfrac{3\sqrt{2}}{5}} = c\frac{3-2\sqrt{2}}{\sqrt{10}}\cdot\frac{1}{\dfrac{5-3\sqrt{2}}{5}} = c\frac{5(3-2\sqrt{2})}{\sqrt{10}\,(5-3\sqrt{2})}.
Para simplificar, multiplico numerador e denominador por 5+3\sqrt{2} (conjugado do denominador):
(3-2\sqrt{2})(5+3\sqrt{2})=3\cdot5+3\cdot3\sqrt{2}-2\sqrt{2}\cdot5-2\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2} =15+9\sqrt{2}-10\sqrt{2}-12=3-\sqrt{2}.
Portanto o quociente fica
v_{2|1}=c\frac{5(3-\sqrt{2})}{7\sqrt{10}} = c\frac{(3-\sqrt{2})\sqrt{10}}{14} = c\frac{3\sqrt{10}-2\sqrt{5}}{14}.
Valor numérico:
\,v_{2|1}\approx 0{,}3580\,c.
Explanação rápida: apesar das partículas irem quase à velocidade da luz no laboratório, a velocidade relativa entre elas é bem menor — relatividade “soma” velocidades de forma não linear.

Passo 5

Energia de 2 no referencial de 1. Duas maneiras equivalentes: (i) calcular \gamma_{2|1} a partir de v_{2|1} e usar E_{2|1}=\gamma_{2|1}m_{0}c^{2}, ou (ii) usar a transformação de energia-momento (transformação de Lorentz) que diz, para uma translação ao longo do eixo x,
E'=\gamma_{1}\bigl(E_{2}-v_{1}p_{2}\bigr),
onde:
  • E' é a energia de 2 no referencial de 1,
  • \gamma_{1}=\dfrac{1}{\sqrt{1-v_{1}^{2}/c^{2}}} é o gamma da partícula 1 no laboratório,
  • E_{2} e p_{2} são energia e momento de 2 no laboratório.
Vou usar (ii) porque é direto com os dados já conhecidos.
Calculo E_{2} no laboratório usando E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}. Para p_{2}=3m_{0}c:
E_{2}=\sqrt{(3m_{0}c)^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}=\sqrt{9m_{0}^{2}c^{4}+m_{0}^{2}c^{4}}=m_{0}c^{2}\sqrt{10}.
Calculo \gamma_{1} para v_{1}. Mas note que \gamma_{1}=E_{1}/(m_{0}c^{2}) e com p_{1}=2m_{0}c segue
E_{1}=m_{0}c^{2}\sqrt{(2)^{2}+1}=m_{0}c^{2}\sqrt{5}, \quad\Rightarrow\quad \gamma_{1}=\sqrt{5}.
Também calculo o produto v_{1}p_{2}:
v_{1}p_{2}=\left(c\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\cdot(3m_{0}c)=\frac{6}{\sqrt{5}}\,m_{0}c^{2}.
Agora a transformação:
E_{2|1}=\gamma_{1}\bigl(E_{2}-v_{1}p_{2}\bigr) =\sqrt{5}\left(m_{0}c^{2}\sqrt{10}-\frac{6}{\sqrt{5}}m_{0}c^{2}\right).
Fatorando m_{0}c^{2}:
E_{2|1}=m_{0}c^{2}\bigl(\sqrt{50}-6\bigr)=m_{0}c^{2}\bigl(5\sqrt{2}-6\bigr).
Valor numérico aproximado:
\,E_{2|1}\approx 1{,}071\;m_{0}c^{2} (ou seja \gamma_{2|1}\approx 1{,}071, coerente com v_{2|1} obtido).

Passo 6

Checagem rápida (opcional e pedagógica): calcular \gamma_{2|1} a partir de v_{2|1} obtido e verificar que \gamma_{2|1}m_{0}c^{2}=m_{0}c^{2}(5\sqrt{2}-6). Isso fecha a consistência da solução.

Resposta

\displaystyle v_{2|1}=\frac{3\sqrt{10}-2\sqrt{5}}{14}\;c\newline
\displaystyle E_{2|1}=m_{0}c^{2}\bigl(5\sqrt{2}-6\bigr)

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