2- Duas partículas idênticas, cada uma possuindo a mesma massa de repouso
, são emitidas na mesma direção e mesmo sentido. A primeira partícula possui momento linear relativístico dado por
enquanto a segunda partícula possui momento linear relativístico
.
a. Qual é a velocidade da partícula 2 quando observada a partir do referencial da partícula 1 ?
b. Qual é a energia total relativística da partícula 2 quando observada a partir do referencial da partícula 1? A resposta deve estar em função de
e
.
a. Qual é a velocidade da partícula 2 quando observada a partir do referencial da partícula 1 ?
b. Qual é a energia total relativística da partícula 2 quando observada a partir do referencial da partícula 1? A resposta deve estar em função de
Passo 1
O enunciado dá duas partículas idênticas com massa de repouso
emitidas na mesma direção e mesmo sentido. As informações numéricas são:
- momento da partícula 1:
, - momento da partícula 2:
.
O enunciado pede duas coisas:
a. A velocidade da partícula 2 vista no referencial da partícula 1 (ou seja, a velocidade relativa de 2 em relação a 1).
b. A energia total relativística da partícula 2 observada no referencial da partícula 1, expressa em função de e
.
a. A velocidade da partícula 2 vista no referencial da partícula 1 (ou seja, a velocidade relativa
b. A energia total relativística da partícula 2 observada no referencial da partícula 1, expressa em função de
Passo 2
Fórmulas úteis e explicação das grandezas (aula rápida):
- O momento linear relativístico de uma partícula é
, onde: -
é a velocidade da partícula no referencial considerado, -
é o fator de Lorentz, -
é a massa de repouso e a velocidade da luz.
-
- A energia total relativística é
e também satisfaz a relação de invariantes
Vou primeiro obter as velocidades das partículas no referencial do laboratório a partir dos momentos fornecidos.
Passo 3
Derivar expressão de
em função de
. Partindo de
e
:
Elevar ao quadrado:
Rearranjando para
:
Logo
Agora aplico isso a cada partícula:
- Para
,
- Para
,
Para ter ideia numérica:
e
.
Passo 4
Agora precisamos da velocidade de 2 no referencial de 1. A regra de adição de velocidades (transformação de velocidades entre referenciais inerciais em relatividade especial) para duas velocidades colineares é
onde
é a velocidade de 2 medida no referencial que se move com velocidade
em relação ao laboratório.
Substituo as expressões encontradas para
e
. Primeiro calculo o produto adimensional
:
A diferença
pode ser escrita factorando
:
Agora aplicando a fórmula:
Para simplificar, multiplico numerador e denominador por
(conjugado do denominador):
Portanto o quociente fica
Valor numérico:
.
Explanação rápida: apesar das partículas irem quase à velocidade da luz no laboratório, a velocidade relativa entre elas é bem menor — relatividade “soma” velocidades de forma não linear.
Passo 5
Energia de 2 no referencial de 1. Duas maneiras equivalentes: (i) calcular
a partir de
e usar
, ou (ii) usar a transformação de energia-momento (transformação de Lorentz) que diz, para uma translação ao longo do eixo
,
onde:
-
é a energia de 2 no referencial de 1, -
é o gamma da partícula 1 no laboratório, -
e são energia e momento de 2 no laboratório.
Vou usar (ii) porque é direto com os dados já conhecidos.
Calculo
no laboratório usando
. Para
:
Calculo
para
. Mas note que
e com
segue
Também calculo o produto
:
Agora a transformação:
Fatorando
:
Valor numérico aproximado:
(ou seja
, coerente com
obtido).
Passo 6
Checagem rápida (opcional e pedagógica): calcular
a partir de
obtido e verificar que
. Isso fecha a consistência da solução.