Durante um filme de suspense, dois submarinos, X e Y , se aproximam um do outro a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, respectivamente. O submarino X emite um “silvo” em direção ao submarino Y , enviando uma onda de sonar com frequência de 2.000 Hz . Considere que o som se propague na água a 1.500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. a) Determine a frequência da onda de sonar detectada pelo submarino Y. b) Qual é a frequência detectada pelo submarino X da onda de sonar refletida pelo outro submarino? c) Suponha que os submarinos passem “raspando” um pelo outro e que, então, sigam se afastando. Que frequência o submarino Y detectará para o silvo emitido pelo submarino X ? Qual será seu deslocamento Doppler?

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados do enunciado:
  • Frequência emitida pelo submarino X: \,f_0=2000\\ \text{Hz}.
  • Velocidade do som na água: \,v=1500\\ \text{m/s}.
  • Velocidade do submarino X: \,v_X=10\\ \text{m/s}.
  • Velocidade do submarino Y: \,v_Y=15\\ \text{m/s}.
Observações sobre sinais (usarei apenas os módulos das velocidades e indicarei se cada um está se aproximando ou se afastando no passo apropriado).
Perguntas:
(a) Qual a frequência da onda de sonar detectada pelo submarino Y enquanto eles se aproximam?
(b) Qual é a frequência detectada pelo submarino X da onda de sonar refletida por Y?
(c) Depois de se tocarem e seguirem se afastando: qual frequência Y detecta do silvo de X? Qual o deslocamento Doppler (variação de frequência, \Delta f) nesse caso?

Passo 2

Aula rápida e prática sobre o efeito Doppler para som (sem pular etapas):
  • Importante: o som precisa de um meio (água). Portanto existe um referencial do meio (a água) e as fórmulas usam as velocidades relativas ao meio.
  • Casos básicos:
    1. Observador em movimento relativo ao meio e fonte fixa: quando o observador se move em direção à fonte, ele intercepta mais frentes de onda por segundo e a frequência percebida aumenta. A fórmula é f'=\frac{v+v_{\text{obs}}}{v}\,f_{\text{em}},onde v_{\text{obs}} é a velocidade do observador em direção à fonte (se for afastando, usa-se v-v_{\text{obs}} no numerador).
    2. Fonte em movimento relativo ao meio e observador fixo: quando a fonte se move em direção ao observador, as frentes ficam mais juntas e a frequência aumenta; a fórmula é f'=\frac{v}{\,v-v_{\text{src}}\,}\,f_{\text{em}},onde v_{\text{src}} é a velocidade da fonte em direção ao observador (se a fonte se afasta, troca-se o sinal no denominador: v+v_{\text{src}}).
  • Quando há simultaneamente fonte e observador em movimento (ambos ao longo da linha que liga ambos), juntamos os dois efeitos:
    f'=\frac{v+v_{\text{obs (toward)}}}{\,v-v_{\text{src (toward)}}\,}\,f_0,
    usando o sinal “+” no numerador se o observador se move em direção à fonte e o sinal “-” no denominador se a fonte se move em direção ao observador. Para movimentos de afastamento, invertem-se os sinais (numerador menor, denominador maior).
  • Reflexão por um objeto em movimento (como submarino que reflete o sinal): pensar como duas etapas sequenciais:
    1. O objeto (a superfície refletora) atua primeiro como observador móvel que recebe a onda com uma frequência f_1 (aplicando a fórmula de observador móvel e fonte original).
    2. Em seguida, o objeto reflete (reemite) essa onda; enquanto reemite ele é uma fonte móvel com frequência de emissão igual à que recebeu em sua referência local. Então aplica-se a fórmula de fonte móvel para o observador original. Assim, a frequência final ao voltar para X é o produto dos dois fatores de Doppler.
Já com essas regras claras, vamos aplicar aos números.

Passo 3

(a) Frequência detectada por Y enquanto eles se aproximam.
Explicação dos sinais: enquanto se aproximam, Y está se movendo em direção à fonte X com velocidade v_Y=15\\ \text{m/s} (aumenta a frequência), e X está se movendo em direção a Y com v_X=10\\ \text{m/s} (também aumenta a frequência, porque a fonte se aproxima). Aplicamos a fórmula combinada:
f_1=\frac{v+v_Y}{\,v-v_X\,}\,f_0.
Substituindo valores (mostrando simplificações acessíveis manualmente):
f_1=\frac{1500+15}{1500-10}\cdot 2000=\frac{1515}{1490}\cdot 2000.
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 5:
\frac{1515}{1490}=\frac{303}{298}.
Agora multiplicar:
f_1=2000\cdot\frac{303}{298}.
Para calcular sem calculadora, nota: \dfrac{303}{298}=1+\dfrac{5}{298}\approx1+0,0167785. Assim
f_1\approx 2000\cdot1,0167785\approx 2033,56\\ \text{Hz}.

Passo 4

(b) Frequência detectada por X da onda refletida pelo submarino Y.
Raciocínio em duas etapas (já explicado): primeiro Y recebe a onda com frequência f_1 (já calculada). Em seguida Y reflete essa onda; o reflexo pode ser tratado como se Y fosse uma fonte que emite com frequência f_1 no referencial da água, movimentando-se com v_Y. Essa onda refletida é então detectada por X, que também está em movimento (com v_X). Aplicamos a fórmula combinada para essa segunda etapa, com Y como fonte móvel e X como observador móvel:
f_2=\frac{v+v_X}{\,v-v_Y\,}\,f_1.
Substituindo f_1 da etapa anterior:
f_2=\frac{v+v_X}{\,v-v_Y\,}\cdot\frac{v+v_Y}{\,v-v_X\,}\,f_0.
Agora os valores:
f_2=\frac{1500+10}{1500-15}\cdot\frac{1500+15}{1500-10}\cdot 2000 =\frac{1510}{1485}\cdot\frac{1515}{1490}\cdot 2000.
Simplificações por 5:
\frac{1510}{1485}=\frac{302}{297},\qquad \frac{1515}{1490}=\frac{303}{298}.
Multiplicando:
f_2=2000\cdot\frac{302}{297}\cdot\frac{303}{298}.
Podemos multiplicar os numeradores e denominadores:
\frac{302\cdot303}{297\cdot298}=\frac{91506}{88506}\approx 1,033905.
Logo
f_2\approx 2000\cdot1,033905\approx 2067,81\\ \text{Hz}.
Interpretação curta: o reflexo sofre dois deslocamentos Doppler (ida e volta), por isso a alteração é maior que no item (a).

Passo 5

(c) Depois de se tocarem e seguirem se afastando: frequência detectada por Y e deslocamento Doppler.
Agora ambos se afastam um do outro: X afasta-se de Y com v_X=10\\ \text{m/s} (fonte se afasta → reduz frequência) e Y afasta-se de X com v_Y=15\\ \text{m/s} (observador afasta → reduz mais ainda). Pelo mesmo raciocínio de sinais, para afastamento usamos:
f_3=\frac{v-v_Y}{\,v+v_X\,}\,f_0.
Substituindo valores:
f_3=\frac{1500-15}{1500+10}\cdot 2000=\frac{1485}{1510}\cdot 2000.
Simplificando por 5:
\frac{1485}{1510}=\frac{297}{302}.
Calculando:
f_3=2000\cdot\frac{297}{302}\approx 2000\cdot0,9834437\approx 1966,89\\ \text{Hz}.
Deslocamento Doppler (diferença entre o que é detectado e a frequência emitida):
\Delta f = f_3-f_0 \approx 1966,89-2000=-33,11\\ \text{Hz}.
O sinal negativo indica que a frequência diminuiu (deslocamento para baixo). Em magnitude, é uma queda de aproximadamente 33,11\\ \text{Hz}.

Resposta

(a) 2033{,}56\\ \text{Hz}
(b) 2067{,}81\\ \text{Hz}
(c) 1966{,}89\\ \text{Hz}
(c) \Delta f \approx -33{,}11\\ \text{Hz}

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