Durante um filme de suspense, dois submarinos, X e Y , se aproximam um do outro a
e
, respectivamente. O submarino
emite um “silvo” em direção ao submarino Y , enviando uma onda de sonar com frequência de 2.000 Hz . Considere que o som se propague na água a
. a) Determine a frequência da onda de sonar detectada pelo submarino Y. b) Qual é a frequência detectada pelo submarino
da onda de sonar refletida pelo outro submarino? c) Suponha que os submarinos passem “raspando” um pelo outro e que, então, sigam se afastando. Que frequência o submarino Y detectará para o silvo emitido pelo submarino X ? Qual será seu deslocamento Doppler?
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados do enunciado:
- Frequência emitida pelo submarino
: . - Velocidade do som na água:
. - Velocidade do submarino
: . - Velocidade do submarino
: .
Observações sobre sinais (usarei apenas os módulos das velocidades e indicarei se cada um está se aproximando ou se afastando no passo apropriado).
Perguntas:
(a) Qual a frequência da onda de sonar detectada pelo submarino enquanto eles se aproximam?
(b) Qual é a frequência detectada pelo submarino da onda de sonar refletida por
?
(c) Depois de se tocarem e seguirem se afastando: qual frequência detecta do silvo de
? Qual o deslocamento Doppler (variação de frequência,
) nesse caso?
(a) Qual a frequência da onda de sonar detectada pelo submarino
(b) Qual é a frequência detectada pelo submarino
(c) Depois de se tocarem e seguirem se afastando: qual frequência
Passo 2
Aula rápida e prática sobre o efeito Doppler para som (sem pular etapas):
-
Importante: o som precisa de um meio (água). Portanto existe um referencial do meio (a água) e as fórmulas usam as velocidades relativas ao meio.
-
Casos básicos:
- Observador em movimento relativo ao meio e fonte fixa: quando o observador se move em direção à fonte, ele intercepta mais frentes de onda por segundo e a frequência percebida aumenta. A fórmula é
onde é a velocidade do observador em direção à fonte (se for afastando, usa-se no numerador). - Fonte em movimento relativo ao meio e observador fixo: quando a fonte se move em direção ao observador, as frentes ficam mais juntas e a frequência aumenta; a fórmula é
onde é a velocidade da fonte em direção ao observador (se a fonte se afasta, troca-se o sinal no denominador: ).
- Observador em movimento relativo ao meio e fonte fixa: quando o observador se move em direção à fonte, ele intercepta mais frentes de onda por segundo e a frequência percebida aumenta. A fórmula é
-
Quando há simultaneamente fonte e observador em movimento (ambos ao longo da linha que liga ambos), juntamos os dois efeitos:usando o sinal “+” no numerador se o observador se move em direção à fonte e o sinal “-” no denominador se a fonte se move em direção ao observador. Para movimentos de afastamento, invertem-se os sinais (numerador menor, denominador maior).
-
Reflexão por um objeto em movimento (como submarino que reflete o sinal): pensar como duas etapas sequenciais:
- O objeto (a superfície refletora) atua primeiro como observador móvel que recebe a onda com uma frequência
(aplicando a fórmula de observador móvel e fonte original). - Em seguida, o objeto reflete (reemite) essa onda; enquanto reemite ele é uma fonte móvel com frequência de emissão igual à que recebeu em sua referência local. Então aplica-se a fórmula de fonte móvel para o observador original. Assim, a frequência final ao voltar para
é o produto dos dois fatores de Doppler.
- O objeto (a superfície refletora) atua primeiro como observador móvel que recebe a onda com uma frequência
Já com essas regras claras, vamos aplicar aos números.
Passo 3
(a) Frequência detectada por
enquanto eles se aproximam.
Explicação dos sinais: enquanto se aproximam,
está se movendo em direção à fonte
com velocidade
(aumenta a frequência), e
está se movendo em direção a
com
(também aumenta a frequência, porque a fonte se aproxima). Aplicamos a fórmula combinada:
Substituindo valores (mostrando simplificações acessíveis manualmente):
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Agora multiplicar:
Para calcular sem calculadora, nota:
. Assim
Passo 4
(b) Frequência detectada por
da onda refletida pelo submarino
.
Raciocínio em duas etapas (já explicado): primeiro
recebe a onda com frequência
(já calculada). Em seguida
reflete essa onda; o reflexo pode ser tratado como se
fosse uma fonte que emite com frequência
no referencial da água, movimentando-se com
. Essa onda refletida é então detectada por
, que também está em movimento (com
). Aplicamos a fórmula combinada para essa segunda etapa, com
como fonte móvel e
como observador móvel:
Substituindo
da etapa anterior:
Agora os valores:
Simplificações por
:
Multiplicando:
Podemos multiplicar os numeradores e denominadores:
Logo
Interpretação curta: o reflexo sofre dois deslocamentos Doppler (ida e volta), por isso a alteração é maior que no item (a).
Passo 5
(c) Depois de se tocarem e seguirem se afastando: frequência detectada por
e deslocamento Doppler.
Agora ambos se afastam um do outro:
afasta-se de
com
(fonte se afasta → reduz frequência) e
afasta-se de
com
(observador afasta → reduz mais ainda). Pelo mesmo raciocínio de sinais, para afastamento usamos:
Substituindo valores:
Simplificando por
:
Calculando:
Deslocamento Doppler (diferença entre o que é detectado e a frequência emitida):
O sinal negativo indica que a frequência diminuiu (deslocamento para baixo). Em magnitude, é uma queda de aproximadamente
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(c)
(b)
(c)
(c)