3- (E2.21 pag 78) A velocidade de rotação de um satélite é ajustada mudando-se o comprimento L de uma barra perpendicular ao eixo de rotação do satélite. A função de transferência entre
e a variação incremental do comprimento da barra
é
A variação do comprimento da barra é
. Determinar a resposta de velocidade
.
A variação do comprimento da barra é
Passo 1
O enunciado pede a resposta temporal
da velocidade quando a variação do comprimento da barra tem transformada de Laplace
e a função de transferência entre
e
é
Informações relevantes fornecidas:
A pergunta é: determinar
(a resposta temporal da velocidade) para
.
Passo 2
Primeiro calculamos
no domínio de Laplace multiplicando a função de transferência por
:
Simplificando o coeficiente
(ou
), obtemos
Passo 3
Vamos usar decomposição em frações parciais para inverter a transformada de Laplace. Como há um polo simples em
, um polo simples em
e um polo de ordem 2 em
, a forma geral da decomposição (para a razão sem o fator
) é:
Explicando rapidinho: para cada fator linear
usamos uma constante sobre
; para cada fator repetido
precisamos de termos
. Isso nos permite inverter termo a termo com tabelas padrão de transformadas.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial:
Agora encontramos
usando valores estratégicos de
.
Passo 5
Escolhemos
:
Escolhemos
:
Escolhemos
(anula termos com fator
, sobrando apenas o termo com
):
Para
podemos usar um valor qualquer que não anule todos os termos; escolho
para simplificar a aritmética:
Substituindo na identidade:
Substituindo
Calculando cada parcela com os valores já encontrados:
Logo
Assim
Resumo das constantes:
Passo 6
Voltando ao
com o fator
:
Multiplicando as constantes:
Portanto
Passo 7
Agora usamos transformadas inversas padrão:
-
(degrau unitário), -
, -
.
Aplicando termo a termo (para
):
Esta é a resposta temporal da velocidade após a variação
.