3- (E2.21 pag 78) A velocidade de rotação de um satélite é ajustada mudando-se o comprimento L de uma barra perpendicular ao eixo de rotação do satélite. A função de transferência entre \mathrm{w}(\mathrm{s}) e a variação incremental do comprimento da barra \Delta \mathrm{L}(\mathrm{s}) é
\frac{w(s)}{\Delta L(s)}=\frac{2,5(s+2)}{(s+5)(s+1)^{2}}
A variação do comprimento da barra é \Delta \mathrm{L}(\mathrm{s})=1 /(4 \mathrm{~s}). Determinar a resposta de velocidade \mathrm{w}(\mathrm{t}).

Passo 1

O enunciado pede a resposta temporal w(t) da velocidade quando a variação do comprimento da barra tem transformada de Laplace \Delta L(s)=\dfrac{1}{4s} e a função de transferência entre w(s) e \Delta L(s) é
\frac{w(s)}{\Delta L(s)}=\frac{2{,}5\,(s+2)}{(s+5)(s+1)^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
\frac{w(s)}{\Delta L(s)}=\frac{2{,}5\,(s+2)}{(s+5)(s+1)^{2}},\qquad \Delta L(s)=\frac{1}{4s}.
A pergunta é: determinar w(t) (a resposta temporal da velocidade) para t\ge 0.

Passo 2

Primeiro calculamos w(s) no domínio de Laplace multiplicando a função de transferência por \Delta L(s):
w(s)=\frac{2{,}5\,(s+2)}{(s+5)(s+1)^{2}}\cdot\frac{1}{4s}.
Simplificando o coeficiente 2{,}5/4=0{,}625 (ou 5/8), obtemos
w(s)=0{,}625\cdot\frac{s+2}{s\,(s+5)(s+1)^{2}}.

Passo 3

Vamos usar decomposição em frações parciais para inverter a transformada de Laplace. Como há um polo simples em s=0, um polo simples em s=-5 e um polo de ordem 2 em s=-1, a forma geral da decomposição (para a razão sem o fator 0{,}625) é:
\frac{s+2}{s\,(s+5)(s+1)^{2}}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+5}+\frac{C}{s+1}+\frac{D}{(s+1)^{2}}.
Explicando rapidinho: para cada fator linear (s-a) usamos uma constante sobre (s-a); para cada fator repetido (s-a)^2 precisamos de termos \dfrac{C}{s-a}+\dfrac{D}{(s-a)^2}. Isso nos permite inverter termo a termo com tabelas padrão de transformadas.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por s\,(s+5)(s+1)^{2} para obter uma identidade polinomial:
s+2 = A\,(s+5)(s+1)^{2} + B\,s\,(s+1)^{2} + C\,s\,(s+5)(s+1) + D\,s\,(s+5).
Agora encontramos A,B,C,D usando valores estratégicos de s.

Passo 5

Escolhemos s=0:
0+2 = A\,(5)(1)^{2}\quad\Rightarrow\quad A=\frac{2}{5}=0{,}4.
Escolhemos s=-5:
-5+2=-3 = B\cdot(-5)\cdot(-4)^{2} = B\cdot(-5)\cdot 16 = -80 B
\Rightarrow\quad B=\frac{3}{80}=0{,}0375.
Escolhemos s=-1 (anula termos com fator (s+1), sobrando apenas o termo com D):
-1+2=1 = D\cdot(-1)\cdot(-4) = 4D \quad\Rightarrow\quad D=\frac{1}{4}=0{,}25.
Para C podemos usar um valor qualquer que não anule todos os termos; escolho s=1 para simplificar a aritmética:
Substituindo s=1 na identidade:
1+2=3 = A(1+5)(1+1)^{2} + B\cdot1\cdot(1+1)^{2} + C\cdot1\cdot(1+5)(1+1) + D\cdot1\cdot(1+5).
Calculando cada parcela com os valores já encontrados:
A(6)(2)^{2}=A\cdot24 = 0{,}4\cdot24=9{,}6,
B\cdot1\cdot4 = 0{,}0375\cdot4=0{,}15,
D\cdot6 = 0{,}25\cdot6=1{,}5.
Logo
3 = 9{,}6 + 0{,}15 + 12C + 1{,}5 = 11{,}25 + 12C.
Assim
12C = 3 - 11{,}25 = -8{,}25 \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{8{,}25}{12} = -0{,}6875 = -\frac{11}{16}.
Resumo das constantes:
A=\frac{2}{5},\quad B=\frac{3}{80},\quad C=-\frac{11}{16},\quad D=\frac{1}{4}.

Passo 6

Voltando ao w(s) com o fator 0{,}625=\dfrac{5}{8}:
w(s)=0{,}625\left(\frac{A}{s}+\frac{B}{s+5}+\frac{C}{s+1}+\frac{D}{(s+1)^{2}}\right).
Multiplicando as constantes:
0{,}625A=\frac{5}{8}\cdot\frac{2}{5}=\frac{1}{4},
0{,}625B=\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{80}=\frac{3}{128},
0{,}625C=\frac{5}{8}\cdot\left(-\frac{11}{16}\right)=-\frac{55}{128},
0{,}625D=\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{4}=\frac{5}{32}.
Portanto
w(s)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s}+\frac{3}{128}\cdot\frac{1}{s+5}-\frac{55}{128}\cdot\frac{1}{s+1}+\frac{5}{32}\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}}.

Passo 7

Agora usamos transformadas inversas padrão:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1 (degrau unitário),
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t},
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s+a)^{2}}\right\}=t\,e^{-a t}.
Aplicando termo a termo (para t\ge 0):
w(t)=\frac{1}{4}\;+\;\frac{3}{128}e^{-5t}\;-\;\frac{55}{128}e^{-t}\;+\;\frac{5}{32}\,t\,e^{-t}.
Esta é a resposta temporal da velocidade após a variação \Delta L(s)=1/(4s).

Resposta

w(t)=\frac{1}{4}+\frac{3}{128}e^{-5t}-\frac{55}{128}e^{-t}+\frac{5}{32}\,t\,e^{-t},\qquad t\ge 0.

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